關鍵詞：反射率 反射因子 BRDF 作者：李二 日期：13/11/2020 - 15/11/2020
0. 前言
上篇博文末尾提到，采用
反射度量 reflectance quantities而非輻射度量 radiant quantities來描述地物的本質屬性是比較合適的，因為這樣就避免了因入射輻照度的差異帶來的問題。
關於
反射度量這部分，很多概念非常容易讓人疑惑不解，我覺得這主要是由兩方面原因造成的：
不同書籍文獻資料寫的確有出入，同一個概念（如反射率）有多種定義和公式表示方式。
直接將各種度量的定義塞給學生，而非從源頭開始講起為什么要這么定義和表示。
不同文獻和書中的對反射率的稱謂有所不同 因此我試圖通過這篇博文去講清楚，但是我依然不能保證自己的理解絕對正確，請讀者辨別看待。
1. 從能量守恆出發
我們引出
反射、吸收、透射的概念，應當都是在能量守恆這一框架下的。能量守恆是我們所有工作的基本前提，然后我們想具體研究一下輻射在介質中的傳輸過程中，到底發生了什么：當入射光投射到某介質層時，人們注意到：
一部分輻射返回來了，因此叫做 反射；一部分輻射在穿過介質的時候被吸收了，因此叫做 吸收；一部分輻射穿透介質后出射了，因此叫做 透射。一共就這三部分，沒其他的了。
我們假定
入射輻射通量 Φi (單位：W)，反射輻射通量 ，吸收輻射通量 ，透射輻射通量 ，根據能量守恆定律：
那么有：
因此，我們記做：
, ,
， ， 分別叫做反射率、吸收率、透過率。
可以看到，這就是我們對於反射率最根本最朴素認知公式，那如果根據公式 ，反射率 必然不能大於1，畢竟 必然小於等於 。
然而，我們在某些遙感產品中確實會發現
反射率大於1的現象，這其實是因為通常輻射通量無法直接測量得到，我們需要對上述公式進行轉換，而轉換后確實會發生反射率大於1的現象，我們后面慢慢講。另外，注意到沒有，我們用的是 而非 ，表明這里並沒有方向性的考慮。
2. 地物反射率的定義與測量
請大家務必注意，下面的一些概念稱謂使用的准確性和方向符號的使用，否則極易造成誤解。
我們有時在一些文獻中看到，反射率 是用
輻射通量密度進行定義的，即：
這當然沒有任何問題。但是有些眼尖的看官會發現，咦，
反照率 Albedo的公式不就是這嘛。是的，如果你期望的是對介質或地表的
總體反射情況（我自創的，可能不精准，但不妨意會一下）進行描述，那么反射率其實就是反照率，根據上面這個公式，取值范圍自然是0-1。這在地表輻射收支平衡的研究中使用的比較多，因為人們只關心地表的總反射，而不在意每個反射方向到底發生了什么。
另外，值得一說的是，輻射出射度 是沒辦法直接測量的，因為它是半球反射的積分，所以通常需要BRDF模型才能算出來。
2.1. 朗伯表面的反射率
我們還是從最簡單的開始講起，朗伯表面的反射情況，如果要計算朗伯表面反射率，那么有：
我們發現朗伯表面的反射率最終可以表示為反射輻亮度 與輻照度 的函數，這樣有什么好處呢?
好處就是，我們可以通過僅僅測量一個方向的輻亮度，就能把反射率 計算出來。而且，朗伯表面各個方向的反射輻亮度相等。
特別要注意的是，這里的 並非是 ，也就是說它並不具有方向性的特征。
2.2. 非朗伯表面的反射率
非朗伯表面就有點意思了，如果我們依然沿用上面公式中的：
就會發現，到這里就沒辦法繼續進行下去了，因為非朗伯表面各個方向的輻亮度 並不相等。那問題來了，對於非朗伯表面，怎么計算其反射率呢？
那只能把各個方向的 獲取到然后積分了。當然這並不現實，現實的做法是通過有限幾個方向的輻亮度觀測來擬合BRDF模型，然后得到各方向 。
3. 地物二向性反射的表征與測量
上篇博文中講到，地表在接收到入射輻射后，會向整個 空間的各個方向進行反射。
而人們有時會關心某些反射方向的反射情況，或者不同反射方向的反射有什么差異。 另外，又因為通常傳感器測量地表反射輻射時僅能在一個方向（微立體角元）進行觀測（不考慮多角度觀測）。 因此，我們需要重點關注一下
如何描述地物在不同方向的反射情況。
3.1. 偉大的BRDF
人們發現，地物表面反射不僅僅具有方向性（
漫反射），而且各個方向的反射情況還和光入射的方式、入射角的大小有關，他們的變化都會引起反射輻射通量以及它在空間分布的變化。那自然地，我們想到不妨直接用 方向的反射輻射通量比上 方向的入射輻射，這多簡單的事情：
其中 為投影立體角，我們以后會講(其實在系列博文1中就有，只是沒有單獨說)
然而，我們立刻就發現一個重要問題，按照這個公式，我們在測這個方向反射比值的同時，還必須知道觀測時的立體角 ，這是相當不方便的，所以我們並不適用上述公式。
順便說一句，上面這個 往往被叫做
方向反射率。所以大家對於各種概念不要亂叫。
為了解決這一問題，能夠更方便地描述地物的二向性反射特點：
Fred E. Nicodemus於1965年提出采用二向反射分布函數 bidirectional reflectance distribution function(盡管首次提出時並非這么叫的)來描述不同入射角條件下物體表面在任意觀測角的反射特性：
看到這，大家很容易有兩個疑問：
為什么采用微分的形式即 ，而不直接用 ? 直觀上看，為什么用 除以 ，而不是 除以 ？ 其實Nicodemus在他文章中已經解釋了這兩個問題：
問題1答案：考慮到其他入射輻射(來自於其他光源的其他方向)也可能被散射到與 相同的方向， 那么凈反射輻亮度 net reflected radiance其實是所有對 貢獻的反射輻射量的加和，而我們希望去精確地描述單一入射方向與單一反射方向的情況，因此采用 ，即來自方向地表輻照度的微增量 與其所引起的方向反射輻亮度的微增量之間的比值。（不過有時我們不那么嚴格，不加這個微分符號也沒關系）
問題2答案：Nicodemus也是從 方向反射率出發的：
為了避免受到反射投影立體角 大小的影響，可以等式兩邊同時除以它。同時分母中的 也不好獨立描述，且 不容易測量，又 ，所以有（因此
BRDF的單位是 ）：
其實，說到底用用 除以 就是為了
測量的方便。這樣我們就能很完美地描述地物的二向性反射情況了。
關於入射輻亮度 不容易測量這個事，有必要稍微展開說一下：
首先說
輻亮度 radiance測量的方法：其實就是用輻射度測量儀 radiance collector進行測量(圖3-1 B)。輻射度測量儀有一個長筒控制光線只能從一個很小的立體角進入測量儀，根據公式 就能夠得到輻亮度了。很容易發現，反射輻亮度 是很容易測量的，就是按照上面的方法。然而，入射輻亮度 卻難以測量，這是因為：
必須保證光源正好覆蓋輻射度測量儀的開口立體角：
如果開口立體角大了，則微分面元 實際接收的輻射通量會比測量值大，導致測量值比實際值小； 如果開口立體角小了，則微分面元 實際接收的輻射通量會比測量值小，導致測量值比實際值大。 而輻照度測量就不受到立體角的束縛：
只要保證光源很小，而且沒有來自其他方向的光干擾，通過輻照度測量儀(圖3-1 A)就能准確測量出入射方向的輻照度 。
小注：定義輻照度的時候 並不涉及方向性的問題，但是如果單純的只有直射光，那么輻照度的能量來源只有這一個方向，因此也就有了 這一表達。
特殊地，對於理想朗伯表面(完全反射)的BRDF，我們有：
順便說一下，BRDF已經是遙感物理與計算機圖形學中渲染的重要基礎。
3.2. 定義的嚴格性VS測量的實用性
我們不得不承認，BRDF定義是非常嚴格和明確地，可以從理論上完美地表征地物的非朗伯特性。然而，令人遺憾的是，它的測量條件極為苛刻，往往難以實現：
入射方向輻照度 的測量十分困難，因為難以保證沒有來自其他方向光的干擾。 反射方向的輻亮度 可能會受到其他光源向該方向的反射輻射的干擾。 但並沒有說BRDF絕對不能夠測量，總是有辦法的，但是這在野外條件下基本是行不通的。於是，我們想，有沒有對測量更友好的二向性反射特征表征方式呢，讓我們不必測量入射輻照度了？
人們想到用一個理想朗伯反射表面作為參考基准，然后計算地物表面反射與朗伯表面反射的差異，這樣就避免了上述的兩個難題。於是誕生了
二向反射因子 bidirectional reflectance factor (BRF)：定義：在相同的方向入射輻射和觀測條件下，相同微分面元 下，地物表面的反射輻射通量與理想朗伯表面的反射輻射通量之比。
這里要注意了，由上面這個公式我們可以做出如下三種形式的繼續推導：
(1) :
(2) :
因為對於理想朗伯表面（即完全反射，沒有吸收，反射率為1），所以有 。當然如果是反射率 小於1的朗伯表面，則有 。
(3) :
這三個推導公式都有各自的價值，我們逐個說一下：
(1)式告訴我們在地面-航空平台上如何進行 的測量：通常實驗人員在地表放置
朗伯反射標准板，所以容易測量出 ，然后就能算BRF了。此時，我們習慣稱測量的值為
二向性反射因子而非二向性反射率。(2)式告訴我們通常衛星平台是怎么得到BRF的：通過大氣輻射傳輸模型，可以計算出入射輻照度 ，傳感器經輻射校正后又能夠得到 ，自然BRF就可以計算了。
此時，我們習慣稱測量的值為
二向性反射因子，或者有的書中和產品中也稱為二向性反射率。(3)式告訴我們，有了BRF之后如何計算BRDF，這樣就不用測量BRDF而是可以直接計算得到了。
3.3. 稱謂的習慣
關於反射率、二向反射因子、二向反射率等稱謂，不同書中、不同文獻中、不同學者通常各有各的稱謂，有時嚴格，有時不嚴格，造成很多人的混淆，這里我嘗試澄清一下：
嚴格意義上講，地物的總體反射率應該叫做反照率，描述地物的總的反射情況，忽略各個方向反射的空間分布特征。 絕大多數近地面測量或遙感觀測都是在 天底 nadir方向的，大部分學者直接將天底方向觀測到的BRF稱為反射率，而不是嚴格稱為反射因子。在多角度遙感觀測中，很多學者直接將 方向 directional觀測到的BRF稱為方向反射率，而不是嚴格稱為反射因子。所以大家在看文獻和與人的交流中，要時刻提醒自己注意，對方的稱呼到底指的是什么量。
3.4. 取值范圍
寫到這里，我們終於可以回答反射率、反射因子能不能大於1的問題了。
按照本文的嚴格定義與稱謂，反射率 的取值范圍是0~1，是不可能大於1的。 比如反照率不可能大於1.
一些衛星遙感產品中所說的 反射率 reflectance，其實應該是二向反射率 ，更嚴格的稱謂是二向反射因子。根據這個公式，是可以大於1的：例如，想象一個鏡面，只有單一的反射方向，那么 ，於是有 ，因此BRF會很大。
近地面遙感中的單一方向測量，測得的都是反射因子，根據公式 ，如果 ，自然BRF取值大於1. 注意：盡管理想朗伯表面是完全反射，但是相比其他地表，其反射方向輻亮度並非是最大的（下圖）。
4. 結語
本篇博文的信息量很大，尤其是BRDF的定義和BRF的公式推導，一定要掌握。另外，一些亂七八糟的稱謂也要大家時刻提醒自己區分。
我們用BRDF和BRF刻畫了地物的二向性反射特征，但是其實這兩者都是比較概念性的量：
非常非常嚴格意義上說，采用傳感器是無法測量的，因為任何傳感器都是有一個視場角的，這並不滿足定義中的
方向-方向的描述，無法做到足夠小的 。另一方面，真實場景下，除了太陽直射光外，還有天空散射光，甚至臨近地物的散射，都可能是 的入射輻射， 因此：
入射是從半球空間入射的，需要其他的反射度量進行描述。
還有，有時我們希望對半球反射的總體情況也進行一下描述：
有的同學說了，反射率（或反照率）不就是描述半球反射的總體情況的嗎？其實我們還希望更具體地描述直射入射、半球入射各自造成的半球反射的效果。
綜上，我們需要更加細化地描述地物的各種入射方向（單一方向、半球方向）和各種反射方向（單一方向、半球方向）下的反射情況，考慮到一篇博文不要太長，容易疲倦，我在下篇博文中在進行講解吧。