其實這里有個問題，就是表面積本來就是用積分定義的。標題上說「不用積分」，只是說不是計算積分，而是按照定義導出未知面積和已知面積的關系，從而導出所需公式。
圓柱的側面積
對於圓柱，經常看到的推法是把側面展開成平面圖形（長方形）。這雖然很直觀，但到底什么叫「展開」，根本說不清楚。
用表面積的定義，可以嚴格化這個所謂的「展開法」。
微積分對表面積的定義是「曲面切平面上的長方形面積微元和的極限」。那么圓柱的面積微元怎么取呢？容易看出，圓柱這個幾何體是圓沿垂直方向拉出高的長度形成的，那么我們就作圓的外切正 n 邊形，也拉出同樣的高度，形成一個正棱柱。我們把這個正棱柱的每個側面作為面積微元。然后把這些面積微元連起來鋪到同一平面上，就形成了一個矩形，一邊長是高 (設為 \(h\))，一邊長是 \( 2nr\tan{\frac{\pi}{n}} \) (設半徑為 r).
所以有
\( S_n = h \cdot 2nr\tan{\frac{\pi}{n}} \)
\( S_n = 2\pi rh\frac{\tan{\frac{\pi}{n}}}{\frac{\pi}{n}} \)
\( S = \lim_\limits{n\to\infty}S_n \)
\( S = 2\pi rh \cdot \lim_\limits{n\to\infty} \frac{\tan{\frac{\pi}{n}}}{\frac{\pi}{n}} \)
\( S = 2\pi rh \)
圓錐的側面積
圓錐也可以展開，但展開圖是個扇形，一個曲邊的圖形，這就不大好用跟上面一樣的方法來處理。
這里有一種更巧妙的方法。在圓錐的側面上取一面積微元 \(\Delta\sigma'\), 則它在底面上的投影就是底面圓的面積微元 \( \Delta\sigma \). 而由面積微元的定義（在切平面上）和圓錐的性質可得，這兩個面積微元間存在確定的比例關系 \( \Delta\sigma' = \frac{\Delta\sigma}{\cos{\theta}} \), 其中 \( \theta \) 為圓錐母線與底面的夾角。因為每對面積微元都存在這一比例關系，所以整塊面積也就必然存在同一比例關系。由此可得：
\( S = \frac{\pi r^2}{\cos{\theta}} \) ( \(r\) 為底面半徑 )
\( S = \pi r^2 \cdot \frac{l}{r} \) ( \(l\) 為母線長 )
\( S = \pi rl \)
球的表面積
先來事后諸葛亮一下：球的表面積是 \(4\pi R^2\), 這表明球的表面積與其外接圓柱的側面積相等。事實上球面上任意一個球帶的面積都跟同高圓柱面（半徑為球面的半徑）的側面積相等。
神奇吧！對任意一個球帶竟然都相等！這匪夷所思的事實給了我們明確的思路：證明球面上面積微元的大小與其外接圓柱面上的相等。
（下面的說明有點抽象，但圖實在是太難畫了。把這個過程當作在柱坐標系下的積分的過程的一部分可能會比較容易理解。）
作出半徑為 \(R\) 的球的外接圓柱。用間隔為 \(\Delta h\) 的兩個平行於圓柱底面的平面截這兩個幾何體，得到一個窄帶。設窄帶中央和球心的距離為 \(h\). 過窄帶中央再作一個平行於圓柱底面的平面，與球相交得到一個小圓（半徑設為 r），與圓柱相交得到一個與球上大圓等大的圓（它們是同心圓）。從圓心引射線把這兩個圓同時分成 \(n\) 份，井以射線和圓的交點為切點作出這兩個圓的外切正 \(n\) 邊形，設球過切點的半徑與豎直方向（與平面垂直的方向）的夾角為 \(\theta\) (\(\cos{\theta}=\frac{h}{R}\)), 以該正多邊形的邊長為一邊長，以過切點的曲面的切平面在窄帶內的最大向上延伸長度為為另一邊長分別作兩曲面的面積微元，可得
圓柱的面積微元大小為
\( \Delta\sigma = 2R\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \Delta h \)
球面的面積微元大小為
\( \Delta\sigma' = 2r\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \frac{\Delta h}{\sin{\theta}} \)
\( \Delta\sigma' = 2R\sin{\theta}\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \frac{\Delta h}{\sin{\theta}} \)
\( \Delta\sigma' = 2R\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \Delta h \)
\( \Delta\sigma' = \Delta\sigma \)
得證。
由此得
\( S = 2\pi R \cdot 2R \)
\( S = 4\pi R^2 \)