最長公共子串(LCS：Longest Common Substring)

最長公共子串(LCS：Longest Common Substring)是一個非常經典的面試題目，本人在樂視二面中被面試官問過，慘敗在該題目中。

什么是最長公共子串

最長公共子串問題的基本表述為：給定兩個字符串，求出它們之間最長的相同子字符串的長度。

最直接的解法就是暴力解法：遍歷所有子字符串，比較它們是否相同，然后去的相同子串中最長的那個。對於長度為n的字符串，它子串的數量為n(n-1)/2，假如兩個字符串長度均為n，那么該解法的復雜度為O(n^4)，想想並不是取出所有的子串，那么該解法的復雜度為O(n^3)。

復雜度太高，可以進行優化，可以利用動態規划法（有重疊的子問題）。

暴力解法

對於該問題，直接的思路就是要什么就找什么，要子串就要子串，要相同就比較每個字符，要長度就計算長度，所以很容易寫出下列代碼：

//暴力
    public static int longestCommonSubstring(String s1, String s2){
        char[] str1 = s1.toCharArray();
        char[] str2 = s2.toCharArray();
        int str1_length = str1.length;
        int str2_length = str2.length;
        if(str1_length == 0 || str2_length == 0)
            return 0;
        //最大長度
        int maxLength = 0;
        int compareNum = 0;
        int start1 = -1;
        int start2 = -1;
        for(int i=0;i<str1_length;i++){
            for(int j=0;j<str2_length;j++){
                int m = i;
                int n = j;
                //相同子串長度
                int length = 0;
                while(m < str1_length && n < str2_length){
                    compareNum++;
                    if(str1[m] != str2[n])
                        break;
                    m++;
                    n++;
                    length++;
                }
                if(length > maxLength){
                    maxLength = length;
                    start1 = i + 1;
                    start2 = j + 1;
                }
                
            }
        }
        System.out.println("比較次數" + compareNum + "，s1起始位置：" + start1 + "，s2起始位置：" + start2);        
        return maxLength;
    }

該思路以字符串中每個字符作為子串的開始，判斷以此開始的子串的相同字符所能達到的最大長度。從上述代碼來看，復雜度是O(n^2)，但是在比較兩個相同開端的子串的效率不是O(1),是O(n)，所以上述算法的復雜度為O(n^3)。

動態規划-空間換時間

上述解法回答面試官，面試官肯定會讓你優化！

我們發現，在相同開端的子串的比較中，有很多事重復動作。比如在比較以i,j分別為起點的子串時，有可能會進行i+1和j+1以及i+2和j+2位置的字符的比較。而以i+1,j+1分別為起點的子串時，這些字符又被比較了一次。也就說該問題有非常相似的子問題，而子問題之間又有重疊，這就給動態規划法創造了契機。

暴力解法是以子串開端開始尋找，現在換個思路，以相同子串的字符結尾來利用動態規划法。

假設兩個字符串分別為A、B，A[i]和B[j]分別表示其第i和j個字符，再假設K[i,j]表示以A[i]和B[j]結尾的子串的最大長度。那么A，B分別再向下走一個字符，我們可以推斷出K[i+1,j+1]與K[i,j]之間的關系，如果A[i] == B[j]，那么K[i+1,j+1] = K[i,j] + 1；否則K[i+1,j+1] =0。而如果A[i+1]和B[j+1]相同，那么就只要在以A[i]和B[j]結尾的最長相同子串之后分別添上這兩個字符即可，這樣就可以讓長度增加一位，綜上所述，就是K[i+1,j+1] = (A[i] == B[j] ? K[i,j] + 1 : 0)的關系。

由上述K[i+1,j+1] = (A[i] == B[j] ? K[i,j] + 1 : 0)的關系，想到了使用二維數組來存儲兩個字符串之間的相同子串關系，因為K[i+1,j+1] = (A[i+1] == B[j+1] ? K[i,j] + 1 : 0)關系，只計算二維數據的最上列和最左列數值即可，其他數值通過K[i+1,j+1] = (A[i+1] == B[j+1] ? K[i,j] + 1 : 0)可得。如下圖所示：

 代碼如下：

//優化
    public static int longestCommonSubstring1(String s1, String s2){
        if(s1.length() == 0 || s2.length() == 0)
            return 0;
        char[] str1 = s1.toCharArray();
        char[] str2 = s2.toCharArray();
        int start1 = -1;
        int start2 = -1;
        int[][] results = new int[str2.length][str1.length];
        //最大長度
        int maxLength = 0;
        int compareNum = 0;
        for(int i=0;i<str1.length;i++){
            results[0][i] = (str2[0] == str1[i] ? 1 : 0);
            compareNum++;
            for(int j=1;j<str2.length;j++){
                results[j][0] = (str1[0] == str2[j] ? 1 : 0);
                if(i>0 && j>0){
                    if(str1[i] == str2[j]){
                        results[j][i] = results[j-1][i-1] + 1;
                        compareNum++;
                    }
                }
                if(maxLength < results[j][i]){
                    maxLength = results[j][i];
                    start1 = i - maxLength + 2;
                    start2 = j - maxLength + 2;
                }
            }
        }
        System.out.println("比較次數" + (compareNum+str2.length) + "，s1起始位置：" + start1 + "，s2起始位置：" + start2);
        return maxLength;
    }

用二維數組保存計算結果，避免了重復計算，運算的時間復雜度降低到了O(n^2)。