最長公共子序列（LCS）

觀看了麻省理工大學的算法導論課程，講解了動態規划求解最長公共子序列的方法，受益匪淺，現做個總結。

課程鏈接如下：http://v.youku.com/v_show/id_XOTMyMDc1MjIw.html?spm=a2h0k.8191407.0.0&from=s1.8-1-1.2

 

1、公共子序列和公共子串的區別

2、問題描述

3、窮舉法

4、動態規划求解

1、公共子序列和公共子串的區別

公共子串是指連續的公有字符串，公共子序列是指兩個字符串都任意刪除0個或多個字符后得到的公有字符串，子序列可以是不連續的。

舉個例子吧，有兩個字符串，串A為“1 2 3 4 5 6 7”，串B 為“1 3 4 5 8 7”，很明顯，A和B的公共子串為“3 4 5”，A和B的公共子序列可以是 “3 5”，或是“1 3 7”，等等。

 

最長公共子串：在兩個字符串中找到一個最長的公共子串，要求子串在原串中是連續的。

最長公共子序列：在兩個字符串中找到一個最長的公共子串，不要求子串在原串中是連續的。

2、問題描述

現有兩個序列x[1...m],y[1...n]，要求出兩個序列的最長公共子序列。

假設x和y如下：

x[1...m] = {A, B, C, B, D, A, B};

y[1...n] = {B, D, C, A, B, A}；

3、窮舉法

• 求出x中所有包含的子序列數：2^m
• 檢測y中是否包含每一個子序列：n

時間復雜度為：O(2^m * n)，消耗天價的時間，明顯不合格。

4、動態規划求解

先假設有 C[i,j] = | LCS(x[1...i] , y(1...j)) |，則有：

  根據上面要求可以寫出求解LCS問題的偽代碼：

 

 LCS(x,y,i,j)  
     if x[i] = y[j]  
         then C[i,j] ← LCS(x,y,i-1,j-1)+1  
     else C[i,j] ← max{LCS(x,y,i-1,j),LCS(x,y,i,j-1)}  
   return C[i,j]

　　為了在求解過程中不進行重復計算，用一個二維數組來暫時存儲已經計算過的值，犧牲空間來獲得時間上的優化。

  代碼如下：

public class LCS {
    public static int[][] vals ;

    public static int getLCS(String str1,String str2){
        int len1 = str1.length();
        int len2 = str2.length();

        vals = new int[len1+1][len2+1];

        for(int i=0;i<len1;i++){
            // 二維數組從[1][1]開始進行有效存儲
            int fi = i+1;
            for(int j=0;j<len2;j++){
                int fj = j+1;
                //字符相同
                if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)){
                    // 滿足第一種狀況
                    vals[fi][fj] = vals[fi-1][fj-1] + 1;
                    //字符不相同
                }else if(str1.charAt(i) != str2.charAt(j)){
                    //滿足第二種狀況
                    vals[fi][fj] = Math.max(vals[fi-1][fj],vals[fi][fj-1]);
                }
            }
        }

        for(int i=0;i<len1;i++){
            System.out.println(Arrays.toString(vals[i]));
        }

        return vals[len1][len2];
    }
    public static void main(String[] args) {
        String str1 = "ABCBDAB";
        String str2 = "BDCABA";
        System.out.println(getLCS(str1,str2));
    }
}

 輸出結果：

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
[0, 1, 1, 1, 1, 2, 2]
[0, 1, 1, 2, 2, 2, 2]
[0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
[0, 1, 2, 2, 2, 3, 3]
[0, 1, 2, 2, 3, 3, 4]
4