三對角矩陣(Tridiagonal Matrices)的求法：Thomas Algorithm(TDMA)

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做三次樣條曲線時，需要解三對角矩陣（Tridiagonal Matrices）。常用解法為Thomas Algorithm，又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。它是一種基於高斯消元法的算法， 分為兩個階段：向前消元forward elimination和回代backward substitution。本文以一個6乘6矩陣為例，介紹一下使用TDMA的求解過程。

1.范例求解

步驟1： 將矩陣變為上三角矩陣

首先要把上面公式中的系數矩陣變為一個上三角矩陣。

第一行：

將上式除以b1：

可寫作：

所以矩陣方程可寫為：

第二行：

將變換后的第一行乘以a2，再與第二行相減，即可消去x1，得：

所以新的矩陣方程為：

同理可推，

第三行：

第四行：

第五行：

第六行：

最后得到新的上三角矩陣公式為：

步驟2：求解

x逆序可以求出，如下：

2. 一般性公式：

注意：

使用TDMA求解，系數矩陣需時diagonally dominant， 即：

 

3. 實現代碼（C語言）

void tdma(float x[], const size_t N, const float a[], const float b[], float c[]) 
{
        size_t n;
 
        c[0] = c[0] / b[0];
        x[0] = x[0] / b[0];

        for (n = 1; n < N; n++) {
                float m = 1.0f / (b[n] - a[n] * c[n - 1]);
                c[n] = c[n] * m;
                x[n] = (x[n] - a[n] * x[n - 1]) * m;
        }
 
        for (n = N - 1; n-- > 0; )
                x[n] = x[n] - c[n] * x[n + 1];
}