如何理解三維曲面的法線向量公式

 

在三維中有曲面 ，求其上任意一點 的法向量。公式很簡單，就是 。但是我怎么也想不通為什么公式是這樣的。

其實我有些隱隱感覺到這和求極值的拉格朗日乘數法有些關聯。因為其中也是 等一列條件被滿足時，解可能是最大值或最小值。看機器學習公開課時，其中提到可以把multiplier看成是一個超平面，對各參數偏導全為零時就是法線方向，為極值balabala...但是我也同樣不能理解拉格朗日乘數法，只知道背公式...哭

 

 

三維空間中的曲面 可理解為三維空間中的標量場 的等值面， 是每一點處的梯度，也就是值的變化最大的方向，直觀上就是該等值面的法向方向。

考慮全微分公式

若 和 都在曲面 上，則 ，於是
即 與曲面上的 附近的任意極小線段垂直，即它是曲面的法向量。寫得不嚴格，大致是這么個意思。

和拉格朗日乘子沒直接關系吧，即使有關系，也是通過 的間接關系。算子 的各種運算和含義，需要在一些例子中理解，在任何一本微積分教材中都會涉及。初學的時候基本上都要死記一些，后面熟了之后才會理解。