如何理解三维曲面的法线向量公式

 

在三维中有曲面 ，求其上任意一点 的法向量。公式很简单，就是 。但是我怎么也想不通为什么公式是这样的。

其实我有些隐隐感觉到这和求极值的拉格朗日乘数法有些关联。因为其中也是 等一列条件被满足时，解可能是最大值或最小值。看机器学习公开课时，其中提到可以把multiplier看成是一个超平面，对各参数偏导全为零时就是法线方向，为极值balabala...但是我也同样不能理解拉格朗日乘数法，只知道背公式...哭

 

 

三维空间中的曲面 可理解为三维空间中的标量场 的等值面， 是每一点处的梯度，也就是值的变化最大的方向，直观上就是该等值面的法向方向。

考虑全微分公式

若 和 都在曲面 上，则 ，于是
即 与曲面上的 附近的任意极小线段垂直，即它是曲面的法向量。写得不严格，大致是这么个意思。

和拉格朗日乘子没直接关系吧，即使有关系，也是通过 的间接关系。算子 的各种运算和含义，需要在一些例子中理解，在任何一本微积分教材中都会涉及。初学的时候基本上都要死记一些，后面熟了之后才会理解。