[LeetCode] 254. Factor Combinations 因子組合

 

Numbers can be regarded as product of its factors. For example,

8 = 2 x 2 x 2;
  = 2 x 4.

Write a function that takes an integer n and return all possible combinations of its factors.

Note:

1. You may assume that n is always positive.
2. Factors should be greater than 1 and less than n.

Example 1:

Input: 1
Output: []

Example 2:

Input: 37
Output:[]

Example 3:

Input: 12
Output:
[
  [2, 6],
  [2, 2, 3],
  [3, 4]
]

Example 4:

Input: 32
Output:
[
  [2, 16],
  [2, 2, 8],
  [2, 2, 2, 4],
  [2, 2, 2, 2, 2],
  [2, 4, 4],
  [4, 8]
]

 

這道題給了我們一個正整數n，讓寫出所有的因子相乘的形式，而且規定了因子從小到大的順序排列，那么對於這種需要列出所有的情況的題目，通常都是用回溯法來求解的，由於題目中說明了1和n本身不能算其因子，那么可以從2開始遍歷到n，如果當前的數i可以被n整除，說明i是n的一個因子，將其存入一位數組 out 中，然后遞歸調用 n/i，此時不從2開始遍歷，而是從i遍歷到 n/i，停止的條件是當n等於1時，如果此時 out 中有因子，將這個組合存入結果 res 中，參見代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> getFactors(int n) {
        vector<vector<int>> res;
        helper(n, 2, {}, res);
        return res;
    }
    void helper(int n, int start, vector<int> out, vector<vector<int>>& res) {
        if (n == 1) {
            if (out.size() > 1) res.push_back(out);
            return;
        }
        for (int i = start; i <= n; ++i) {
            if (n % i != 0) continue;
            out.push_back(i);
            helper(n / i, i, out, res);
            out.pop_back();
        }
    }
};

 

下面這種方法用了個小 trick，我們仔細觀察題目中給的兩個例子的結果，可以發現每個組合的第一個數字都沒有超過n的平方根，這個也很好理解，由於要求序列是從小到大排列的，那么如果第一個數字大於了n的平方根，而且n本身又不算因子，那么后面那個因子也必然要與n的平方根，這樣乘起來就必然會超過n，所以不會出現這種情況。那么剛開始在2到n的平方根之間進行遍歷，如果遇到因子，先復制原來的一位數組 out 為一個新的一位數組 new_out，然后把此因子i加入 new_out，然后再遞歸調用 n/i，並且從i遍歷到 n/i 的平方根，之后再把 n/i 放入 new_out，並且存入結果 res，由於層層迭代的調用，凡是本身能繼續拆分成更小因數的都能在之后的迭代中拆分出來，並且加上之前結果，最終都會存 res 中，參見代碼如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> getFactors(int n) {
        vector<vector<int>> res;
        helper(n, 2, {}, res);
        return res;
    }
    void helper(int n, int start, vector<int> out, vector<vector<int>> &res) {
        for (int i = start; i <= sqrt(n); ++i) {
            if (n % i != 0) continue;
            vector<int> new_out = out;
            new_out.push_back(i);
            helper(n / i, i, new_out, res);
            new_out.push_back(n / i);
            res.push_back(new_out);
        }
    }
};

 

上面兩種解法雖有些小不同，但是構成結果的順序都是相同，對於題目中給的兩個例子 n = 12 和 n = 32，結果如下：

 

n = 12
2 2 3
2 6
3 4

n = 32
2 2 2 2 2
2 2 2 4
2 2 8
2 4 4
2 16
4 8

 

上面兩種方法得到的結果跟題目中給的答案的順序不同，雖然順序不同，但是並不影響其通過 OJ。下面就給出生成題目中的順序的解法，這種方法也不難理解，還是從2遍歷到n的平方根，如果i是因子，那么遞歸調用n/i，結果用v來保存，然后新建一個包含i和 n/i 兩個因子的序列 out，然后將其存入結果 res, 然后再遍歷之前遞歸 n/i 的所得到的序列，如果i小於等於某個序列的第一個數字，那么將其插入該序列的首位置，然后將序列存入結果 res 中，舉個例子，比 n = 12，那么剛開始 i = 2，是因子，然后對6調用遞歸，得到 {2, 3}，然后此時將 {2, 6} 先存入結果中，然后發現i(此時為2)小於等於 {2, 3} 中的第一個數字2，那么將2插入首位置得到 {2, 2, 3} 加入結果，然后此時i變成3，還是因子，對4調用遞歸，得到 {2, 2}，此時先把 {3, 4} 存入結果，然后發現i(此時為3)大於 {2, 2} 中的第一個數字2，不做任何處理直接返回，這樣就得到正確的結果了：

 

解法三：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> getFactors(int n) {
        vector<vector<int>> res;
        for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
            if (n % i != 0) continue;
            vector<vector<int>> v = getFactors(n / i);
            vector<int> out{i, n / i};
            res.push_back(out);
            for (auto a : v) {
                if (i <= a[0]) {
                    a.insert(a.begin(), i);
                    res.push_back(a);
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

 

這種方法對於對於題目中給的兩個例子 n = 12 和 n = 32，結果和題目中給的相同：

 

n = 12
2 6
2 2 3
3 4

n = 32
2 16
2 2 8
2 2 2 4
2 2 2 2 2
2 4 4
4 8

 

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/254

 

類似題目：

Combination Sum III

Combination Sum II

Combination Sum

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/factor-combinations/

https://leetcode.com/problems/factor-combinations/discuss/68039/A-simple-java-solution

https://leetcode.com/problems/factor-combinations/discuss/68040/My-Recursive-DFS-Java-Solution

https://leetcode.com/problems/factor-combinations/discuss/68132/Share-simple-C%2B%2B-DFS-accepted-solution

 

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