1.Monatamic Lattice
根據X衍射中，入射光和散射光的光程差：${\bf{r}}\cdot\left({\bf{k-k'}}\right)$，振幅取決於$e^{i\bf{K}\cdot{d_j}}$
X射線衍射的Laue condition: $\bf{K=G_h}$
可以定義簡單的幾何結構因子（Identical basis）：
\[ S_{G_h}=\sum_j e^{-i\bf{G_h}\cdot{d_j}} \]
2.Polyatomic Lattice
取原子或離子實的中心為$\stackrel{\rightarrow}{r}=0$，與某一倒格矢相聯系的原子形狀因子為：
\[ f_j({\bf{G_h}})=\int n_j({\bf{r}})e^{-i{\bf{G_h}}\cdot{\bf{r}}} \,dr \]
其中，下角標$j$代表了空間某一種點，該點處有原子或離子實。若對應的是離子實，${\bf{r}}$表示離子實所包含的電子相對於離子實中心的位置坐標。因此，此處針對的是離子實中包含的所有電子的求和，$n_j({\bf{r}})$的物理意義是$\stackrel{\rightarrow}{r}$處的電子濃度；$f_j({\bf{G_h}})$整體刻畫了$\stackrel{\rightarrow}{r}$處對X光的散射性質；
晶體的幾何結構因子被定義為：
\[ S_{G_h}=\sum_j {f_j({\bf{r}})e^{-i\bf{G_h}\cdot{d_j}} } \]
衍射光的強度與$|S_{G_h}|^2$有關，因此衍射強度此時不僅與原子的相對排列有關，還與原子的種類（$j$為種類序號）的有關。
例1:
以體心立方布拉維格子為例，可將其看成簡單立方格子加上基元條件（兩種基元）。換句話說，體心立方格子是由兩種簡單立方格子堆積交錯堆疊而成。雖然這兩種簡單立方格子的倒格矢原子形狀因子相同，但是$d_j$不同。
簡單立方格子對應的倒格矢為
\[ {\bf{G_h}}=h_1{\bf{b_1}}+h_2{\bf{b_2}}+h_3{\bf{b_3}}=\frac{2\pi}{a}(h_1{\bf{x}}+h_2{\bf{y}}+h_3{\bf{z}}) \]
體心立方格子基元含有兩種基元：
\[{\bf{d_1}}=0,{\bf{d_2}}=\frac{1}{2}a({\bf{x}}+{\bf{y}}+{\bf{z}}) \]
因此可得到：
\[ S_{G_h}=f\left[1+e^{i\pi(h_1+h_2+h_3)}\right]=f\left[1+(-1)^{h_1+h_2+h_3}\right] \]
\[ S_{G_h}=\begin{cases}0& \text{$h_1+h_2+h_3=odd$}\\2f& \text{$h_1+h_2+h_3=even$}\end{cases} \]
例2:
Consider a lattice with an n-ion basis. Suppose that the ith ion in the basis, when translated to ${\bf{r}}=0$, can be regarded as composed of $m_i$ point particles of charge $-Z_{ij}e$, located at position $\bf{b_{ij}}$, $j=1,2,...,m_i$.
(a) Show that the atomic form factor $f_i$ is given by
\[ f_i=\sum_{j=1}^{m_i} Z_{ij}e^{-i\bf{K\cdot{b_{ij}}}} (1) \]
(b) Show that the total structure factor $S_{G_h}=\sum_{j} {f_j({\bf{r}})e^{-i\bf{G_h}\cdot{d_j}} }$ implied by (1) is identical to the struture factor one would have found if the lattice were equivalently decribed as having a basis of $m_1+m_2+...+m_n$ point ions.
Solution：
(a) 第$i$個離子的形狀因子的物理含義是第$i$個離子內各個帶點的質點的散射波疊加后對散射波振幅的貢獻。第$i$個離子的形狀因子為：
\[ f_i=\int n_i({\bf{r}})e^{-i{\bf{G_h}}\cdot{\bf{r}}} \,dr (2)\]
${\bf{r}}$表示離子實所包含的帶電質點相對於離子實中心的位置坐標
將積分改為求和，得到：
\[ f_i=\sum_{j=1}^{m_i} Z_{ij}e^{-i\bf{K\cdot{b_{ij}}}} (3)\]
$m_i$表示第$i$個離子實含有的帶點質點數目
(b) 基元由$n$個離子組成，結構因子：
\[ S_{G_h}=\sum_{i=1}^{n} {f_ie^{-i\bf{G_h}\cdot{r_i}} } (4)\]
其中$f_i$是基元中第$i$個離子的形狀因子
將$f_i$代入結構因子，得到
\[ S_{G_h}=\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=1}^{m_i} Z_{ij}e^{-i\bf{G_h}\cdot{b_{ij}+r_i} }} (5)\]
換個角度，把點陣直接看為帶點質點的組成的基元，其結構因子為：
\[ S_{G_h}=\sum_k {f_ke^{-i\bf{G_h}\cdot{r_k}} } (6)\]
對於每個帶點質點，均有$f_k=Z_{ij}$,而$\bf{r_k=r_i+b_{ij}}$, 對所有帶點質點求和，可再次得到
\[ S_{G_h}=\sum_{i=1}^{n} {\sum_{j=1}^{m_i} Z_{ij}e^{-i\bf{G_h}\cdot{b_{ij}+r_i} }} (7)\]
2017-04-30