一、關於特征組合（Characteristic Portfolio）
（一）特征組合與因子投資
近年來，人們更多地關注於如何配置因子或者發現一個新因子，但作為因子投資基礎的因子組合構建方法受到的關注卻要少很多。CP又名純因子組合，在較新的學術研究中一般也稱作factor mimicking portfolio（因子模擬組合），或純因子組合。它表示一個對某個因子暴露為1而對其他因子暴露為0的投資組合。
通過構建某個因子的CP，我們可以將CP的收益作為factor risk premium，也可以用來觀察一個因子的對於資產盈利的解釋能力或者產生α的能力。在因子投資領域，我們可以運用CP構建多因子投資組合。其好處是可以更精確地選擇要承擔何種風險、不願意承擔何種風險，可以十分方便的構造出一個對某因子具有高暴露度，而對其他因子保持中性的投資組合。
（二）經典的因子組合構建方法：
第一種是排序分組。類似於Fama和French（1992、1993）的SMB、HML這樣按照給定特征排序分組構建的多空組合，這樣就得到了factor risk premium。優點是相對簡單，缺點是同時受到了很多其他因子的橫截面影響，Daniel等人(2019)提出了加入一些對沖的改進方法。
第二種是通過多因子模型進行截面回歸構建。主要是在截面回歸中估計特征組合的權重，在現實中往往為了組合的可投資性放寬對因子暴露的假設，是現在業界使用的主流方法，尤其是其與最主流的Barra模型掛鈎。后面將會有詳細的解釋。
第三種是《Active Portfolio Management》中介紹的的構建方法。直接使用處理后的因子值作為factor exposure/factor loading，然后通過截面回歸和組合優化求得因子暴露通過將因子值正態標准化得到，其中所用到的均值是按照流通市值加權，這樣可以保證以流通市值加權的市場基准組合對所有的因子都沒有暴露。
后兩種方法都避免了第一種方法帶來的對其他因子的暴露，更能反映因子的歷史收益狀況，缺點是很難操作，同時構造出的組合可能難以用來交易。
二、通過多因子模型構建特征組合
（一）關於多因子模型
首先需要注意的是，多因子模型的時間下標為，我們要知道t+1的股票收益，除了知道t的因子暴露，還必須知道t+1的因子收益，這意味着多因子模型並不提供在意於預測，其本身更注重於對收益的分解和對風險的把握：
一般形式的多因子模型如下：
Fama和MacBeth(1973)為了檢驗CAPM模型使用了經典的FM回歸，第一步是通過時間序列回歸估計每個資產在這些因子中的factor exposure/loading（x），然后然后使用β截面回歸求出factor risk premium（f），最后檢驗這些溢價的顯著性來驗證CAPM模型。如今學界和業界在使用時往往直接將標准化過后的因子作為factor loading（x），然后估計factor premium。
Barra一直采用的方法就是截面回歸，它沒有使用第一步時序回歸計算factor loading，而是直接使用了firm characteristics，並進行第二步的截面回歸來估計 factor risk premium。
（二）多因子模型中的特征組合
對於一個組合P，其權重為：
（三）構建方法
對於線性多因子模型r=Xf+u，通過對一系列的歷史截面進行GLS回歸，可以對每一期的因子收益進行估計（截面回歸），相應地也就得到了每一期的純因子組合權重，就可以觀察純因子組合的歷史收益。
（四）案例：構建一個存在全額投資和不允許賣空的可投資投資組合
三、《ACM》中的特征組合構建
（一）《ACM》中的特征組合
存在股票池s=,,s-1.,,s-2.,……,,s-n..，還有某個因子a，其中的每支股票對因子a的暴露度（exposure）為a=,,a-1.,,a-2.,……,,a-n..。假設我們構建一個組合P，組合的權重h=,,h-1.,,h-2.,……,,h-n..，那么該組合對於該因子的暴露度就是。
在這種情況下，如果有一個投資組合能夠滿足,a-P.=,h-T.a=1（即該組合對因子a存在單位暴露），且風險最小（前面的條件可以有無窮多個解），那么這個組合就是關於因子a的特征組合（Characteristic Portfolio，也叫因子特質組合）。
這個特征組合能夠唯一地代表因子a，我們可以通過計算與某個組合P的協方差來確定組合P對因子a的暴露度（這樣可以簡化我們的計算）。再明確一下它的定義，特征組合是對於任意一個屬性，在對該屬性有單位暴露的所有投資組合中，存在唯一一個具有最小風險的組合，這個組合就是該屬性的特征組合。
當然，其實每個組合都是對於某個因子的特征組合，我們完全可以從某個組合出發，找到以它為特征組合的那個因子，這個組合可以最有效地代表那個因子，只不過這個因子不一定有嚴格的經濟意義。通過特征組合，我們可以將屬性（因子）和組合之間聯系起來。
特征組合中間包含兩個比較特殊的特征組合：組合C（最小方差組合）和組合Q（最高夏普比率組合）。CAPM探究的實際上就是關於“預期超額收益率”這個因子的特征組合，其中，有效前沿描述了一組特征組合，它們是每個可達到的預期收益率水平下的最小方差組合，組合Q就是市場組合。
（二）特征組合的構建
在《ACM》第一章后面的技術附錄中有很詳細的證明和說明，主要通過在給定因子暴露為1的約束下求解最小風險組合，也是一個最優化問題。
