A die simulator generates a random number from 1 to 6 for each roll. You introduced a constraint to the generator such that it cannot roll the number i more than rollMax[i] (1-indexed) consecutive times.
Given an array of integers rollMax and an integer n, return the number of distinct sequences that can be obtained with exact n rolls. Since the answer may be too large, return it modulo 109 + 7.
Two sequences are considered different if at least one element differs from each other.
Example 1:
Input: n = 2, rollMax = [1,1,2,2,2,3]
Output: 34
Explanation: There will be 2 rolls of die, if there are no constraints on the die, there are 6 * 6 = 36 possible combinations. In this case, looking at rollMax array, the numbers 1 and 2 appear at most once consecutively, therefore sequences (1,1) and (2,2) cannot occur, so the final answer is 36-2 = 34.
Example 2:
Input: n = 2, rollMax = [1,1,1,1,1,1]
Output: 30
Example 3:
Input: n = 3, rollMax = [1,1,1,2,2,3]
Output: 181
Constraints:
1 <= n <= 5000rollMax.length == 61 <= rollMax[i] <= 15
這道題讓模擬搖骰子的過程，每次隨機搖出1到6之間的數字，但是給了一個限定條件，說是數字i不能連續搖出超過 rollMax[i-1] 次，現在讓搖n次骰子，問可以搖出多少種不同的組合，結果對一個超大數取余。看到這種結果對一個超大數字取余的題，基本上可以直接放棄暴力破解的想法，直接無腦上動態規划 Dynamic Programming。現在來想一想，假如沒有 rollMax 的限制條件，那么搖n次骰子可能出現組合總數就是6的n次方，現在有了這個限制條件，問題就變得復雜了，不然也對不起這 Hard 的身價。既然是要限定某個數字連續出現的次數不能超過一個限定值，則最后一次搖出的數字就是一個必備的信息，需要加到當前狀態里，當然還需要知道當前是第幾次搖，這樣就需要兩個變量來定義一個狀態，於是用一個二維的 DP 數組，其中 dp[i][j] 表示搖了第i次且搖出的數字是 j+1 時的總的組合次數，於是所求的結果就是將所有的 dp[n][j] 加起來即可。
接下來的難點就是求狀態轉移方程了，對於任意一個狀態 dp[i][j]，不考慮限制條件的話，第i次搖出數字 j+1 的情況組合應該等於第 i-1 次搖出任意一個數字的情況總和，但是由於 rollMax[j] 第存在，不能使得數字 j+1 連續搖出 rollMax[j] 次，所以當前搖了第幾次也很關鍵，可以另外用一個變量k從1遍歷到i，這里當 k 小於 rollMax[j] 時，表示不受限制，可以連續搖出數字 j+1，但是這里我們不是直接加上上一輪所有的結果（為了方便知道每一輪的組合總數，用另一個數組 sum 來表示，其中 sum[i] 表示第i次搖的所有組合個數），而是要減去 dp[i-k][j]，因為 dp[i-k][j] 中可能包括了當前不能加上的組合，比如當前數字 j+1 的限制次數是2次，而 dp[i-1][j] 里包括了 j+1 出現2次的情況，此時 dp[i][j] 直接加上這個會出現問題，所以要減去 dp[i-1][j] 的值，然后再去看 k=2 的情況，若超過次數限制了，就不加了，若沒有，則還是同樣的 logic，加上 sum[i-2]，再減去 dp[i-2][j]，最終到i等於k時，則 dp[i-k][j] 為0，而 sum[i-k] 是1，即可以將第一次搖出數字 j+1 的情況加上，不會漏掉任何一種情況，參見代碼如下：
class Solution {
public:
int dieSimulator(int n, vector<int>& rollMax) {
int M = 1e9 + 7;
vector<vector<long>> dp(n + 1, vector<long>(6));
vector<long> sum(n + 1);
sum[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j < 6; ++j) {
for (int k = 1; k <= rollMax[j] && i >= k; ++k) {
dp[i][j] = (dp[i][j] + sum[i - k] - dp[i - k][j] + M) % M;
}
sum[i] = (sum[i] + dp[i][j]) % M;
}
}
return sum[n];
}
};
Github 同步地址:
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1223
參考資料：
https://leetcode.com/problems/dice-roll-simulation/
https://leetcode.com/problems/dice-roll-simulation/discuss/403756/Java-Share-my-DP-solution