You have d dice and each die has f faces numbered 1, 2, ..., f.
Return the number of possible ways (out of fd total ways) modulo 109 + 7 to roll the dice so the sum of the face-up numbers equals target.
Example 1:
Input: d = 1, f = 6, target = 3
Output: 1
Explanation:
You throw one die with 6 faces. There is only one way to get a sum of 3.
Example 2:
Input: d = 2, f = 6, target = 7
Output: 6
Explanation:
You throw two dice, each with 6 faces. There are 6 ways to get a sum of 7:
1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1.
Example 3:
Input: d = 2, f = 5, target = 10
Output: 1
Explanation:
You throw two dice, each with 5 faces. There is only one way to get a sum of 10: 5+5.
Example 4:
Input: d = 1, f = 2, target = 3
Output: 0
Explanation:
You throw one die with 2 faces. There is no way to get a sum of 3.
Example 5:
Input: d = 30, f = 30, target = 500
Output: 222616187
Explanation:
The answer must be returned modulo 10^9 + 7.
Constraints:
1 <= d, f <= 301 <= target <= 1000
這道題題說是給了d個骰子，每個骰子有f個面，現在給了一個目標值 target，問同時投出這d個骰子，共有多少種組成目標值的不同組合，結果對超大數字 1e9+7 取余。這道題其實跟之前的 Coin Change 2 硬幣找零系列很類似，只不過這里相當於確定了硬幣的總數一定要為d。萬變不離其宗，還是用動態規划 Dynamic Programming 來做，首先來考慮 dp 數組該如何定義，根據硬幣找零系列的啟發，目標值本身肯定是占一個維度的，因為這個是要求的東西，另外就是當前骰子的個數也是要考慮的因素，所以這里使用一個二維的 dp 數組，其中 dp[i][j] 表示使用i個骰子組成目標值為j的所有組合個數，大小為 d+1 by target+1，並初始化 dp[0][0] 為1。接下來就是找狀態轉移方程了，當前某個狀態 dp[i][k] 跟什么相關呢，其表示為使用i個骰子組成目標值k，那么拿最后一個骰子的情況分析，其可能會投出 [1, f] 中的任意一個數字j，那么之前的目標值就是 k-j，且用了 i-1 個骰子，其 dp 值就是 dp[i-1][k-j]，當前投出的點數可以跟之前所有的情況組成一種新的組合，所以當前的 dp[i][k] 就要加上 dp[i-1][k-j]，那么狀態轉移方程就呼之欲出了：
dp[i][k] = (dp[i][k] + dp[i - 1][k - j]) % M;
其中i的范圍是 [1, d]，j的范圍是 [1, f]，k的范圍是 [j, target]，總共三個 for 循環嵌套在一起，最終返回 dp[d][target] 即可，參見代碼如下：
解法一：
class Solution {
public:
int numRollsToTarget(int d, int f, int target) {
int M = 1e9 + 7;
vector<vector<int>> dp(d + 1, vector<int>(target + 1));
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= d; ++i) {
for (int j = 1; j <= f; ++j) {
for (int k = j; k <= target; ++k) {
dp[i][k] = (dp[i][k] + dp[i - 1][k - j]) % M;
}
}
}
return dp[d][target];
}
};
我們可以進行空間上的優化，由於當前使用i個骰子的狀態值依賴於使用 i-1 個骰子的狀態，所以沒必要保存所有的骰子個數的 dp 值，可以在遍歷i的時候，新建一個臨時的數組t，來保存使用i個骰子的 dp 值，並在最后交換 dp 和 t 即可，參見代碼如下：
解法二：
class Solution {
public:
int numRollsToTarget(int d, int f, int target) {
int M = 1e9 + 7;
vector<int> dp(target + 1);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= d; ++i) {
vector<int> t(target + 1);
for (int j = 1; j <= f; ++j) {
for (int k = j; k <= target; ++k) {
t[k] = (t[k] + dp[k - j]) % M;
}
}
swap(dp, t);
}
return dp[target];
}
};
Github 同步地址:
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1155
類似題目：
Equal Sum Arrays With Minimum Number of Operations
參考資料：
https://leetcode.com/problems/number-of-dice-rolls-with-target-sum/
https://leetcode.com/problems/number-of-dice-rolls-with-target-sum/discuss/355841/Java-Memo-DFS