有些概率公式常常會一段時間內要用到,但是有經常忘記,這里備注一下
1、乘法法則
\(p\left ( x,y \right )=p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )=p\left ( y|x \right )p\left ( x \right ) \)
實際上就是條件概率公式的一個等價形式
2、獨立性
如果\(x\)和\(y\)是相互獨立的,那么有:
\(p\left ( x, y \right ) = p\left ( x\right )p\left ( y\right )\)
3、貝葉斯規則(Bayes' Rule)
貝葉斯規則又成為貝葉斯公式,在許多領域都有着廣泛的應用,其公式如下:
\(p\left ( y|x \right )=\frac{p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )}{p\left ( x \right )}\)
分母是標准化常數,用於確保左邊的后驗概率其所有可能的值之和為1。因此,我們通常可寫成:
\(p\left ( y|x \right )=\eta p\left ( x|y \right )p\left ( x \right )\)
在給定背景知識\(e\)給定的情況下,貝葉斯變成:
\(p\left ( y|x,e \right )=\frac{p\left ( x|y,e \right )p\left ( y|e \right )}{p\left ( x|e \right )}\)
4、邊緣化
邊緣概率公式如下:
\(p\left ( x \right )= \int_{y}^{ } p\left ( x,y \right )dy\)
在離散的情況下,積分變成求和:
\(p\left ( x \right )= \sum_{y}^{ } p\left ( x,y \right )\)
5、全概率法則
全概率是邊緣概率的一種變體,能通過乘法法則推導而來,即:
\(p\left ( x \right )= \int_{y}^{ } p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )dy\)
且,對於離散情況則為相應概率之和,即:
\(p\left ( x \right )= \sum_{y}^{ } p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )dy\)
對於連續情況,條件概率的全概率公式:
\(p\left ( x|y \right )= \int_{z}^{ } p\left ( x|y,z \right )p\left ( z|y \right )dz\)
對於離散情況,條件概率的全概率公式:
\(p\left ( x|y \right )= \sum_{z}^{ } p\left ( x|y,z \right )p\left ( z|y \right )dz\)
6、馬爾科夫假設
馬爾科夫假設是指變量\(x_{t}\),只與它直接的前一時刻狀態\(x_{t-1}\)有關,和\(x_{t^{‘}-1}\)無關,其中\(t^{'}<t-1\),則有
\(p\left ( x_{t}|x_{1:t-1} \right )= p\left(x_{t}|x_{t-1} \right)\)
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參考資料
[1]. Cyrill Stachniss(著), 陳白帆,劉麗珏(譯).機器人地圖創建與環境探索,2013.
博客編寫公式用mathtype簡直折騰遭罪,吃力不討好。
以前學習的latex終於能用起來,還是latex的公式最接近完美,深切體會到積累所引起的持續性發酵----厚積薄發。