概率論常用公式


  有些概率公式常常會一段時間內要用到,但是有經常忘記,這里備注一下

1、乘法法則

                                           \(p\left ( x,y \right )=p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )=p\left ( y|x \right )p\left ( x \right ) \)

  實際上就是條件概率公式的一個等價形式

2、獨立性

  如果\(x\)和\(y\)是相互獨立的,那么有:

                \(p\left ( x, y \right ) = p\left ( x\right )p\left ( y\right )\)

3、貝葉斯規則(Bayes' Rule)

  貝葉斯規則又成為貝葉斯公式,在許多領域都有着廣泛的應用,其公式如下:

                \(p\left ( y|x \right )=\frac{p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )}{p\left ( x \right )}\)

  分母是標准化常數,用於確保左邊的后驗概率其所有可能的值之和為1。因此,我們通常可寫成:

                \(p\left ( y|x \right )=\eta p\left ( x|y \right )p\left ( x \right )\)

  在給定背景知識\(e\)給定的情況下,貝葉斯變成:

                                              \(p\left ( y|x,e \right )=\frac{p\left ( x|y,e \right )p\left ( y|e \right )}{p\left ( x|e \right )}\)

4、邊緣化

  邊緣概率公式如下:

                \(p\left ( x \right )= \int_{y}^{ } p\left ( x,y \right )dy\)  

  在離散的情況下,積分變成求和:

                \(p\left ( x \right )= \sum_{y}^{ } p\left ( x,y \right )\)  

 

5、全概率法則

  全概率是邊緣概率的一種變體,能通過乘法法則推導而來,即:

                \(p\left ( x \right )= \int_{y}^{ } p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )dy\)

  且,對於離散情況則為相應概率之和,即:

                \(p\left ( x \right )= \sum_{y}^{ } p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )dy\)

    對於連續情況,條件概率的全概率公式:

                                                         \(p\left ( x|y \right )= \int_{z}^{ } p\left ( x|y,z \right )p\left ( z|y \right )dz\)

  對於離散情況,條件概率的全概率公式:

                                                        \(p\left ( x|y \right )= \sum_{z}^{ } p\left ( x|y,z \right )p\left ( z|y \right )dz\)

6、馬爾科夫假設

  馬爾科夫假設是指變量\(x_{t}\),只與它直接的前一時刻狀態\(x_{t-1}\)有關,和\(x_{t^{‘}-1}\)無關,其中\(t^{'}<t-1\),則有

                \(p\left ( x_{t}|x_{1:t-1} \right )= p\left(x_{t}|x_{t-1} \right)\)

 

latax公式編輯器:在線版本mathjax

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參考資料

  [1]. Cyrill Stachniss(著), 陳白帆,劉麗珏(譯).機器人地圖創建與環境探索,2013.

 

博客編寫公式用mathtype簡直折騰遭罪,吃力不討好。

以前學習的latex終於能用起來,還是latex的公式最接近完美,深切體會到積累所引起的持續性發酵----厚積薄發。


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