1. 啥是對偶
對偶（duality）本身是一種非常普遍的概念，在生活中非常常見。比如你在吃一個甜筒冰激凌，為了能吃出一個洞來，你先從上面吃，然后再從下面吃，最后終於被你吃出了一個洞！當然這是玩笑了，下面是一個嚴肅的例子。比如爬山的時候一個大台階你先上去了，回頭拉你的女朋友上來，這時候就出現了一個標准的對偶：你把手盡力往下伸（最小化），而她把手盡力往上伸（最大化），最后終於碰到一起了（強對偶定理）。這個過程中，你的手的高度總是高於或等於女朋友的手（弱對偶定理）。線性規划中對偶的格式非常固定，但是個別問題有非常明顯的經濟解釋，現在就看一個和吃有關的。
2. 吃貨的決策科學
聽說英國人喜歡吃下午茶是因為只吃兩頓，所以中午會餓。但是作為吃貨就不應該管是哪國人，只要有加餐就不能錯過。下面這個表是學校餐廳兩種甜點的營養含量(克)和價格信息及吃貨的營養需求：
| 巧克力蛋糕 | 奶油芝士蛋糕 | 吃貨一頓飯需求 | ||
| p1 | 可可 | 3 | 0 | 6 |
| p2 | 糖 | 2 | 4 | 10 |
| p3 | 奶油 | 2 | 5 | 8 |
| 價格 | 5 | 8 | ||
| x1 | x2 |
例如巧克力蛋糕含有3克、2克和2克的可可、糖和奶油，且一個巧克力蛋糕的價格為5元。而吃貨需要的三種營養元素最低標准是6克、10克和8克。也就是說必須要吃夠這些才能保證營養。顯然兩種蛋糕只買一個是不夠吃貨吃的，所以必須得多買點。假設餐廳可以提供散裝的稱重，也就是說可以不用按個買，那這個問題就要好好研究一下，如何既能滿足營養需求還能使價格最低。吃貨列了以下線性優化問題：
min 5*x1 + 8*x2 （總的價格）
subject to 3*x1 >= 6 （營銷要大於需求）
2x1 + 4x2 >= 10
2x1 + 5x2 >= 8
x1, x2 >= 0 （顯然要是正數）
其中x1和x2是兩種蛋糕的購買數量。解出這個線性規划就可以得到最佳的購買組合。這個問題有時也叫營養問題(diet problem)，具有非常直接的現實意義上的解釋。
作為一個節約的吃貨到此為止問題就已經解決了，但是該問題的對偶問題，同樣有非常合理的經濟角度的解釋。下面我們把吃貨放一邊，考慮一下餐廳老板及零售商之間的決策問題。
3. 對偶問題的解釋
現在我們要做幾個假設：
1.假設餐廳老板每天只接待吃貨一個人，且他也有這個表格，知道吃貨要吃多少東西。
2.老板要做的事是從零售商進貨，他同樣會告訴零售商這個表格的信息。我們再假設老板是按營養元素進貨，然后再加工成蛋糕的。
3.假設價格是學校統一定的，餐廳老板無法改變。
現在我們考慮零售商的問題，即如何給這三種元素定價，能夠使賣給餐廳老板后收入最大化。
首先每天進的三樣營養要至少滿足吃貨的最低需求，而由於餐廳老板不會招待別人，所以餐廳老板會確定的買6克、10克和8克的三種營養元素。再考慮另外一個因素，如果我們讓p1,p2和p3為這三種元素的價格，那么
3*p1 + 2*p2 + 2*p3 <= 5
這個條件需要滿足。式子左邊的含義是一個蛋糕需要的營養元素的價格，這個價格如果超過了5元，且老板一個蛋糕只能賣5元。所以如果原材料的進價超過了5元錢，餐廳老板是不會同意的，因為這樣他就賺不到錢了。這樣的后果就是他不會再從這個家進貨了。所以零售商必須要保證餐廳還要能掙到錢，或者是至少不賠本(所以我們用小於等於)。這樣，上個問題的對偶問題就出來了：
max 6*p1 + 10*p2 + 8*p3 (賣出三種營養元素的收入)
subject to 3*p1 + 2*p2 + 2*p3 <= 5
4*p2 + 5*p3 <= 8
p1 , p2 , p3 >= 0
因為這里的解的值並不重要，所以我們也就不去求解了。
4. 對偶定理
最后來看一下兩個對偶定理。弱對偶定理的意思是任何一個最小化問題的解的函數值都會大於等於其對偶問題（最大化）的任何解的函數值。如果用咱們的這個問題來解釋就是：吃貨花錢買蛋糕的價格一定會大於（最多等於）餐廳老板進貨的價格。這個解釋非常合理，因為餐廳總要賺差價嘛。
而強對偶定理指的是兩個問題的最優解的值一定相等。也就是說，如果吃貨足和零售商足夠精明，他們兩個人都找到了最優解，那么吃貨花的錢和零售商的收入會正好相等，也就是說在這個情況下，餐廳老板啥也沒有掙到。
5. 小結
對偶性是一個非常經典同時也比較難理解的概念，除了這個比較明顯的解釋以外，還有一般課本上的影子價格（shadow price）解釋，問題背景是工廠加工原材料。雖然和這個問題不同，但是都和原材料價格有關，所以才某些課本上，對偶的向量用p來做名字，我猜也就是這個原因吧。