線性規划
首先一般所有的線性規划問題我們都可以轉換成如下標准型：
但是我們可以發現上面都是不等式，而我們計算中更希望是等式，所以我們引入這個新的概念：松弛型：
很顯然我們最后要求是所有的約束左邊的變量都不小於0。而求解這類問題，我們又有一套十分便利的模型算法：單純形
基變量：松弛型等式左邊的所有變量
非基變量：松弛型等式右側的所有變量
基本解：一組基變量和非基變量蘊含着一組基本解，即所有的非基變量都為0，基變量都為等式右側的常數項（這里要求常數項為正，為負時我們后面討論）
算法原理：
可證線性規划的解空間是一個凸形區域，也就是說全局最優解只有一個，或者同時有多個平行的最優解。由上性質我們可以知道，局部最優解一定時全局最優解，這就是單純形的算法思想。
算法過程：
轉軸操作：選擇一個基變量和非基變量，將其互換
simplex操作：主過程，從一個基本解出發，經過一系列的轉軸操作，找到最優解
舉例：
求解如下問題：
第一步：互換x1與x6
第二步：互換x3與x5
第三步：互換x2與x3
此時我們得到的基本解：（x1, x2, x3, x4, x5, x6） = (8, 4, 0, 18, 0, 0)，易驗證就是最后的最優解
算法偽代碼：
1 def Simplex(A, b, c): 2 initialization(A, b, c) 3 while there is e that Ce > 0 do: 4 find the index l that Ale > 0 and minimizes bi/Ale 5 if all l, Ale <= 0 then: 6 return Unbounded 7 else: 8 pivot(A, b, c, l, e)
其中我們發現有一個“initialization”函數就是用於處理我們的bi<0的情況，它的做法是引入一個輔助的線性規划：
這樣經過一次轉軸操作以后，第l個約束變為：
其余的變為：
易知此時對於新的bi滿足都不小於0
對偶問題
定義：
用矩陣表示更形象，而且也更利於我們后期的計算與理解：
因此我們在面對這類問題時可以考慮它們之間的相互轉化。這里不加證明給出一下定理：
互為對偶問題的兩組最優解相等
后續更新Simplex算法的python實現……