很早以前學過理論，3個月前又學了一遍寫了一點筆記，現在覺得以（已）前（經）寫（完）的（全）太（忘）丑（記）於是重寫一遍
參考資料：
1.算法導論
2.2016國家集訓隊論文
標准型
$Maximize\quad \sum\limits_{j=1}^{n} c_jx_j$
$Satisfy\quad constraint:$
$\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \le b_i,\ i=1,2,...,m$
$x_j \ge 0,\ j=1,2,...,n$
$n$個變量，$m+n$個約束
構造$m*n$的矩陣$A$，$m$維向量$b$，$n$維向量$c$
$Maximize\quad c^Tx$
$Satisfy\quad constraint:$
$Ax \le b$
$x \ge 0$
轉化為標准型:
松弛型
松弛變量$x_{n+i}$
$ \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \le b_i\ \rightarrow\ $$x_{n+i}=b_i - \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j,\ x_{n+i} \ge 0$
等式左側為基本變量，右側為非基本變量
單純型算法
每個約束定義了$n$維空間中的一個半空間(超平面)，交集形成的可行域是一個凸區域稱為單純型
目標函數是一個超平面，最優解在凸區域定點處取得
基本解：非基本變量值為$0$，基本變量為右側的常數
基本可行解：所有$b_i \ge 0$
通過不斷的轉軸操作，在$n$維凸區域的頂點上不斷移動(轉軸)，使得基本解的目標值不斷變大，最終達到最優解
轉軸：
選取一個非基本變量$x_e$為替入變量，基本變量$x_l$為替出變量，將其互換
為了防止循環，根據$Bland$規則，選擇下標最小的變量
初始化：
算法導論上有一個輔助線性規划的做法
但我發現好多人都用了隨機初始化的黑科技
在所有$b_i < 0$的約束中隨機選一個作為$x_l$，再隨機選一個$a_{le} < 0$的作為$x_e$，然后$Pivot(l,e)$后$b_i$就變正了...
代碼實現：
直接用一個$a[][]$來保存目標函數和約束
$Pivot$里的各種操作推導一下很清楚，用了兩個$trick$避免了一些判斷
$id$用來保存基本變量和非基本變量集合
針對全幺模矩陣可以進行提取非零系數的優化
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const int N=25; const double eps=1e-8,INF=1e15; inline int read(){ char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();} return x*f; } int n,m,type; double a[N][N],ans[N]; int id[N<<1]; int q[N]; void Pivot(int l,int e){ swap(id[n+l],id[e]); double t=a[l][e]; a[l][e]=1; for(int j=0;j<=n;j++) a[l][j]/=t; for(int i=0;i<=m;i++) if(i!=l && abs(a[i][e])>eps){ t=a[i][e]; a[i][e]=0; for(int j=0;j<=n;j++) a[i][j]-=a[l][j]*t; } } bool init(){ while(true){ int e=0,l=0; for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][0]<-eps && (!l||(rand()&1))) l=i; if(!l) break; for(int j=1;j<=n;j++) if(a[l][j]<-eps && (!e||(rand()&1))) e=j; if(!e) {puts("Infeasible");return false;} Pivot(l,e); } return true; } bool simplex(){ while(true){ int l=0,e=0; double mn=INF; for(int j=1;j<=n;j++) if(a[0][j]>eps) {e=j;break;} if(!e) break; for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][e]>eps && a[i][0]/a[i][e]<mn) mn=a[i][0]/a[i][e],l=i; if(!l) {puts("Unbounded");return false;} Pivot(l,e); } return true; } int main(){ freopen("in","r",stdin); srand(317); n=read();m=read();type=read(); for(int i=1;i<=n;i++) a[0][i]=read(); for(int i=1;i<=m;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=read(); a[i][0]=read(); } for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=i; if(init() && simplex()){ printf("%.8lf\n",-a[0][0]); if(type){ for(int i=1;i<=m;i++) ans[id[n+i]]=a[i][0]; for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.8lf ",ans[i]); } } }
問題轉化為單純型：
最短路
最大流
最小費用最大流
多商品流(目前沒寫過)
對偶性：
${Max\ c^Tx\ :\ Ax \le b,\ x \ge 0}\ \quad {Min b^Ty\ :\ A^Ty \ge c,\ t \ge 0}$
最大化與最小化互換，常數與目標函數互換，改變不等號，變量與約束對應
最大流與最小割
二分圖最大權匹配與最小頂標和
最小頂標和：一個帶權二分圖，兩個頂點的頂標之和不小於連接它們的邊的邊權，求最小頂標和
所有邊權為$1$，就是最大匹配和最小點覆蓋
$d_{uv}$表示$u,v$是否匹配
$Max\quad \sum\limits_{(u,v)\in E}c_{uv}d_{uv}$
$Sat$
$\sum\limits_{v \in Y}d_{uv} \le 1 \quad \quad u \in X$
$\sum\limits_{u \in X}d_{uv} \le 1 \quad \quad v \in Y$
$d_{u,v}\in \{0,1\}$
令$p_u,p_v$為兩類約束對偶之后的變量
$Min\quad \sum\limits_{u \in X}p_u + \sum\limits_{v \in Y}p_v$
$Sat$
$p_u+p_v \ge c_{uv} \quad \quad u \in X,v \in Y$
$p_u,p_v \ge 0$
全幺模矩陣(totally unimodular matrix)
充分條件：
1.僅有$-1,0,1$構成
2.每列至多兩個非零數
3.行可分為兩個集合：
一列包含兩個同號非零數，兩行不在同一個集合
一列包含兩個異號非零數，兩行在同一個集合
線性規划中$A$為全幺模矩陣，則單純形法過程中所有系數$\in{-1,0,1}$
可以去除系數為$0$的項進行優化！
任何最大流、最小費用最大流的線性規划都是全幺模矩陣