線性規划中的單純形法與內點法（原理、步驟以及matlab實現）（一）

線性規划(Linear Programming Problem:LPP)是凸優化以及現實生活中經常遇到的問題，解決線性規划問題常用的方法有單純形法(Simlex Method)（普通單純形法，大M法，兩階段法，對偶單純形法）以及內點法(karmarkar method)

matlab中求解線性規划使用 linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)以及revised(c, b, a, inq, 1)

注：f為目標函數（min形式）系數矩陣，A為限制條件系數矩陣，b為右端值矩陣（元素可以小於零），Aeq為等式約束的系數矩陣，beq為等式約束的右端值矩陣，lb和ub為未知數的下限和上限

1.LPP 

2.Simplex Method

每一次迭代的tableau 格式如下：

 

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換入基、換出基的選擇：

原理：

所以標准型可以換成以下的形式：

迭代的思想：

 

 

解的情況討論：

 

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2.1 Simplified Simplex Method (普通單純形)

LPP中的約束條件全是等式約束

standard form

 注：這里的右端值b必須全部非負

 下面舉例說明該種方法的應用以及matlab的兩種實現

 

Solution 

首先引入變量(slack or surplus)將原問題轉為標准格式：

下面開始迭代：

first tableau

 

將x1作為基變量換出x4

second tableau

將x2作為基變量換出x3

third tableau

 

可以看到

所有的z_j-c_j都是非負的，所以此時的x值是最優值，答案為：

matlab實現

linprog() : 

注意：linprog()解決問題的標准格式如下：

 

所以需要轉換原問題為最小化問題！！！

 

f = [-2, -1];
A = [3 4; 6 1];
b = [6 3];
[x, fval] = linprog(f, A, b)

 

 下面貼出運行結果

revised():

注意：該函數不是內置函數，需要自行下載函數，附上網址：http://cn.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/26554-revised-simplex-method?focused=5147615&tab=function

 

c = [2 1];
A = [3 4; 6 1];
b = [6 3];
inq = [-1 -1];
revised(c, b, A, inq, 0)