線性代數（Linear Algebra）這門學科大家並不陌生，如果有人還是覺得有點生疏，那么“行列式”、“矩陣”這些概念你總該還有印象。大學各個專業都會深淺不同地學習這門課，文科一般放在《大學數學》里，工科生一般在《線性代數》或《高等數學》中見到它，而我們數學系更多地是上《高等代數》這門課。線性代數之所以能同微積分一同擠進大學數學，就在於它模型的簡單性和應用的廣泛性。它不光是數學研究的一個基本工具，還是很多工商業學科的理論基礎。
但有意思的是，線性代數成為一門系統學科卻還是20世紀初的事。在此之前，各種相關理論獨立發展，然后產生交叉，最后在公理化和抽象代數的帶動下，終於瓜熟蒂落，形成一套完整的學科。這其實也並不奇怪，它的成長經歷和大部分數學學科一樣，先是在具體應用中作為一種方法被提出來，然后逐漸從中提取出普遍性理論並形成學科。線性關系作為最簡單的一種關系，它的模型和方法存在於很多地方，所以最初它們只是以不同的分支獨立發展，而公理化的方法最終捕捉到了它們“線性”的共性，並利用“線性空間”的概念將它們串聯起來。
簡單來說，“線性”就是變量間的“一次”、"正比例"關系，變量的變化率是恆定的。直觀來講，所有元素之間有式子（1）中的關系，其中\(k_i\)是系數。這樣的關系實在太普遍，它哪怕在最古老的文明中大家都是駕輕就熟的。古人很早就開始解一些線性方程（組），並形成了一些實用的方法，我國的《九章算術》就給出解三元一次方程組的一般方法，它和多元線性方程組的“高斯消元法”本質上是一樣的。
\[y=k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n\tag{1}\]
解多元線性方程組的過程中，萊布尼茨（Leibniz）最先使用了行列式表示低維方程的解，克萊姆（Cramer）則給出了一般方程組的解。這時的行列式還只是一種記號，僅僅用於方程組解的形式表示。此后，范德蒙（Vandermonde）將行列式獨立出來，並研究了行列式的子式展開法，這標志着行列式作為一門學科的開始。而柯西（Cauchy）則對行列式進行了系統的研究，融合矩陣的概念並得出許多重要的結論，故柯西也被當做近代意義上行列式的創始人。
雖然我們一般說“矩陣的行列式”，但其實矩陣概念的產生卻晚於行列式。最初大家也只是形式上使用着這種結構（縱橫排列），凱萊（Cayley）最先將矩陣用單個字母表示，這標志着人們開始接受了矩陣作為一個獨立個體的存在，凱萊的成果也使它成為矩陣理論的創始人。行列式和矩陣大部分時候是獨立發展的，它們的內容和方法關系也並不緊密，而最終卻互相成就，結合在了一起。
Cauchy（1789-1857） Cayley（1821-1895）
線性代數的另一個來源是解析幾何，空間（平面）點的向量化，使得利用代數研究幾何非常方便，空間元素的向量定義，使得討論高維空間成為可能。其實廣義的向量並不僅限於空間的討論，它本質上只是普遍存在的線性關系的一種表示。即使在非線性的場合，也可以在局部用線性關系來逼近，這在計算數學中有着廣泛的應用。另外人們還發現，要討論向量空間的變換關系，最終還是會引出方程組和矩陣的討論，由此我也決定從向量空間開啟我們的線性之路。
受到公理化思潮的影響，線性代數的很多基本概念也可以用抽象代數的語言來表示。既然我們已經學習過抽象代數，在行文中我也將不回避相關概念的引用，但其實只要你知道基本概念，就不會影響理解。這里我們相當於把線性代數作為抽象代數的一個分支來討論，只不過這里研究的結構更為特殊而已。
空間向量中還有一些具體的問題，一個是二次曲面（線）方程的分類，借助於矩陣理論可以將曲面（線）方程化簡為最簡形式，從而便於分類，這部分內容就是后面的二次型理論。另外一個是空間幾何中長度、角度的概念需要擴展到一般的向量空間中，這部分內容將在最后簡單介紹。多項式理論也是線性代數的基本工具，由於在抽象代數中已經以更高的視角討論過，這里就不再闡述了。關於矩陣還有一些獨立的分支學科，比如矩陣論、矩陣分析，這些內容其實與“線性”關系不大，我打算另開課題介紹。
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【前序學科】 抽象代數
【參考資料】
[1] 《高等代數》，丘維聲，2013
高等代數的經典教材，作者試圖將所有概念串聯，編排順序新穎而合理，課程內容非常詳盡，即適合入門，也有對深入內容的探討。
[2] 《高等代數》，查建國，1988
一本經典老教材，視角比較高，編排結構合理，解析細致，講解具有啟發性，適合進階閱讀。
[3] 《高等代數》（3rd），王萼芳，2003
國內一本優秀的入門教材，起步較低，循序漸進，講解細致流暢，符合基礎較少的人閱讀。習題豐富，補充習題有難度。
[4] 《高等代數簡明教程》（2nd），藍以中，2007
總體比較簡潔明了，編排順序有自己的特點，以應用為切入點，增加了直觀印象，書中還有大篇幅的擴展內容。
[5] 《高等代數》（5th），張禾瑞，2007
非常淺顯的入門教材，適合幾乎零基礎的人閱讀，總體是一本常規教材，內容比較實用。
[6] 《高等線性代數》，張賢科，2012
內容編排得非常緊湊，信息量比較大，還包含了不少擴展內容，沒有思想性，但適合直接查閱結論。
[7] 《線性空間引論》（3rd），陳恭亮，2009
一本別出心裁的教材，選材比較新穎，不同於一般的線性代數，論述有較強的啟發和引導性，不講求大而全。
[8] 《線性代數與矩陣論》（2nd），許以超，2008
算一本常規教材，內容充實簡介，再加上一些擴展知識，編排順序有自己的特點，比較適合入門者。
[9] 《線性代數》（5th），同濟大學數學系，2007
工科專業用的比較多的一本教材，只提取了線性代數中最基礎的內容，適合以快速應用為目的的學習。
[10] 《高等代數解題方法》（2nd），張賢科，2005
內容非常全面，題型覆蓋面廣，而且總結非常有條理，你如果想找一本知識總結和習題鍛煉的書，我首推這一本。
[11] 《線性代數習題集》，普洛斯庫利科夫，1978
前蘇聯的習題集，那個題量和難度，你懂的！反正我沒做，粗略瀏覽了一下，質量應該挺高。
[12] 《高等代數解題技巧與方法》，黎伯堂，2003
一本考研習題用書，題目較難，但具有研究性和啟發性，值得仔細琢磨。
[13] 《高等代數題解精粹》，錢吉林，2002
普通的考研習題集，大部分都很簡單，且研究意義不大，可作為考試練手用。
[14] 《高等代數綜合題解》，蔡劍芳，1986
一本教材附屬的習題集，可以伴隨着教材一起練習。
[15] 《Advanced Linear Algebra》，N. Loehr，2014
[16] 《Advanced Linear Algebra》，S. Roman，2007
兩本經典的英文教材，但都是一些高級內容，我沒看過，有興趣的可以學學。