重新學習線性代數(一)
寫這篇文章是主要目的是為了解決在學習現代控制理論中所遇到的困難.
$\lambda$矩陣
什么是$\lambda$矩陣?
矩陣中的元素是以$\lambda$為自變量的多項式的矩陣稱之為$\lambda$-矩陣(或多項式矩陣).
$\lambda$-矩陣的秩和n階$\lambda$-陣的奇異性
略,和數矩陣一致.只要$\lambda$矩陣中有一個r階子式不為零而所有r+1階子式全為零,則稱該矩陣的秩為r,即$rank(A)=r$
,如果n階方陣滿足$rank(A)=n$,則稱之為滿秩(非奇異).
可逆$\lambda$矩陣的行列式一定是一個非零常數
一定是常數,$\lambda$的多項式也不行.
初等變換和初等矩陣
與數矩陣一致.$\lambda$矩陣的初等變換和初等矩陣都是可逆的
矩陣的等價
與數矩陣一致.兩個$\lambda$矩陣等價的充要條件是:兩個矩陣是同型的(階次相同)可以通過有限次初等變換互相轉化.
一般記作 $A(\lambda)\cong B(\lambda)$
顯然,等價的兩個矩陣具有相同的秩.
smith標准型(與smith正交化區分)
對於$\lambda$矩陣A($\lambda$),假設$rank(A)=r$,存在
$$A(\lambda)\cong D(\lambda)=\left [ \begin{matrix}d_1(\lambda) & 0 & \cdots &0 \0 & d_2(\lambda) & \cdots & 0 \ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \ \cdots & \cdots & d_r(\lambda) & 0 \ \cdots&\cdots&\cdots&0_{matrix} \end{matrix}\right ]$$
其中,$d_i(\lambda)$為首項為1的多項式.
定義矩陣D($\lambda$)為A矩陣的Smith標准形.
不變因子與初等因子
不變因子即為上面的$d_i(\lambda)$,類似於實矩陣的特征值.
對每個$d_i(\lambda)$進行因式分解,所有正整數次冪的因子項(諸如$(\lambda-\lambda_j)^{k_{ij}}$之流)稱為矩陣A的初等因子.
兩個矩陣等價的充要條件:擁有相同的初等因子組且秩相同(二者缺一不可).
矩陣Jordan標准型
首先將實矩陣轉化為$\lambda$矩陣.
如果矩陣A與矩陣B等價,則$\lambda$E-A也與$\lambda$E-B等價.這樣就可以看出兩個$\lambda$矩陣需要具有相同的初等因子組和相同的秩.
首先給出現控課上講的***重數***的拓展
代數重數與幾何重數
對於n階矩陣A,如果$\lambda_i$是關於A的互異特征值,則有
$$det(\lambda E-A)=\Pi_{i=0}{n}(\lambda-\lambda_i){m_i}$$
其中$\Sigma m_i=n$,稱$m_i$為代數重數,但是代數重數未必能夠反應Jordan塊的性質,所以需要幾何重數的概念.
幾何重數:對於特征值$\lambda _i$,其特征向量所構成的線性空間記為$V_i$,則其幾何重數被定義為$r_i=dim(V_i)$.
關於幾何重數,還有一種計算方法是:$r_i=n-rank(\lambda E-A)$
根據代數重數和幾何重數的討論,可以發掘:
- 幾何重數一定不會大於代數重數
- 如果矩陣A的每個特征值的幾何重數都和代數重數相等,則矩陣A是和由特征值構成的對角陣等價的.(思考存疑:當幾何重數等於其代數重數時,特征向量所構成的線性空間就是滿秩的,因而他們之間可以進行互相的轉化?)
- 當2無法滿足時,便找不到一個對角陣來等價於矩陣A,但是在與A相似的所有矩陣中可以找出一種形式最簡單的矩陣,稱之為Jordan.下面會詳細說明.
下圖詳細說明了Jordan標准型的形式:
對於每個特征值,都有一個分塊矩陣$J_i$與之對應,而$J_i$可以看作是分塊矩陣的疊加(這種疊加主要來源於幾何重數與代數重數的差值)
Hamilton-Cayley 定理
設A是N階矩陣(元素必須是數),定義$\phi(\lambda)=det(\lambda E-A)$,則有
$\phi(\lambda)=det(\lambda E-A)=\lambdan+a_1\lambda{n-1}+\cdots+a_n$
上述等式是有限多項和方法的美妙使用手段(證明的n次方可由低階線性表出進而給出有限多項就可以表現出無窮多項的原理),而其還有如下結論:
$\phi(A)=O$
上述多項式稱之為化零多項式.
一個矩陣會有很多化零多項式,至少會有一個尤其特征值對應的.這些化零多項式中首項系數為1的次數最小的那個化零多項式被稱為最小多項式,相似矩陣具有相同的最小多項式.