斐波那契查找原理詳解與實現

最近看見一個要求僅使用加法減法實現二分查找的題目，百度了一下，原來要用到一個叫做斐波那契查找的的算法。查百度，是這樣說的：

斐波那契查找與折半查找很相似，他是根據斐波那契序列的特點對有序表進行分割的。他要求開始表中記錄的個數為某個斐波那契數小1，即n=F(k)-1;

 開始將k值與第F(k-1）位置的記錄進行比較(及mid=low+F(k-1)-1),比較結果也分為三種

 1）相等，mid位置的元素即為所求

 2）>   ,low=mid+1,k-=2;說明:low=mid+1說明待查找的元素在[mid+1,hign]范圍內，k-=2 說明范圍[mid+1,high]內的元素個數為n-（F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1個，所以可以遞歸的應用斐波那契查找

 3)<    ,high=mid-1,k-=1;說明:low=mid+1說明待查找的元素在[low,mid-1]范圍內，k-=1 說明范圍[low,mid-1]內的元素個數為F(k-1)-1個，所以可以遞歸的應用斐波那契查找

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大部分說明都忽略了一個條件的說明：n=F(k)-1， 表中記錄的個數為某個斐波那契數小1。這是為什么呢？

我想了很久，終於發現，原因其實很簡單：

是為了格式上的統一，以方便遞歸或者循環程序的編寫。表中的數據是F(k)-1個，使用mid值進行分割又用掉一個，那么剩下F(k)-2個。正好分給兩個子序列，每個子序列的個數分別是F(k-1)-1與F(k-2)-1個，格式上與之前是統一的。不然的話，每個子序列的元素個數有可能是F(k-1)，F(k-1)-1，F(k-2)，F(k-2)-1個，寫程序會非常麻煩。

實現代碼如下：

// 斐波那契查找.cpp   
  
#include "stdafx.h"  
#include <memory>  
#include  <iostream>  
using namespace std;  
  
const int max_size=20;//斐波那契數組的長度  
  
/*構造一個斐波那契數組*/   
void Fibonacci(int * F)  
{  
    F[0]=0;  
    F[1]=1;  
    for(int i=2;i<max_size;++i)  
        F[i]=F[i-1]+F[i-2];  
}  
  
/*定義斐波那契查找法*/    
int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key)  //a為要查找的數組,n為要查找的數組長度,key為要查找的關鍵字  
{  
  int low=0;  
  int high=n-1;  
    
  int F[max_size];  
  Fibonacci(F);//構造一個斐波那契數組F   
  
  int k=0;  
  while(n>F[k]-1)//計算n位於斐波那契數列的位置  
      ++k;  
  
  int  * temp;//將數組a擴展到F[k]-1的長度  
  temp=new int [F[k]-1];  
  memcpy(temp,a,n*sizeof(int));  
  
  for(int i=n;i<F[k]-1;++i)  
     temp[i]=a[n-1];  
    
  while(low<=high)  
  {  
    int mid=low+F[k-1]-1;  
    if(key<temp[mid])  
    {  
      high=mid-1;  
      k-=1;  
    }  
    else if(key>temp[mid])  
    {  
     low=mid+1;  
     k-=2;  
    }  
    else  
    {  
       if(mid<n)  
           return mid; //若相等則說明mid即為查找到的位置  
       else  
           return n-1; //若mid>=n則說明是擴展的數值,返回n-1  
    }  
  }    
  delete [] temp;  
  return -1;  
}  
  
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])  
{  
    int a[] = {0,16,24,35,47,59,62,73,88,99};  
    int key=100;  
    int index=Fibonacci_Search(a,sizeof(a)/sizeof(int),key);  
    cout<<key<<" is located at:"<<index;  
    system("PAUSE");  
    return 0;  
}