二分查找和斐波那契查找

二分查找

說明：查找的數組或列表必須是有序的，若無序，先進行排序

復雜度：時間復雜度 O(log2n)，空間復雜度O(n)

C++源碼（遞歸和非遞歸兩個版本）

#include <iostream>
using namespace std;

int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 };

int BinarySearch1(int l, int r, int value)
{
	int mid = (l + r) / 2;
	if (l == r && a[l] != value)
		return -1;
	if (a[mid] == value)
		return mid;
	if (a[mid] > value)
		return BinarySearch1(l, mid - 1, value);
	else
		return BinarySearch1(mid + 1, r, value);
	
}


int BinarySearch2(int value){
	int l = 0;
	int r = sizeof(a) / sizeof(a[0]) - 1;
	while (l <= r){
		int mid = (l + r) / 2;
		if (a[mid] == value)
			return (l + r) / 2;
		if (a[mid] > value)
			r = mid - 1;
		else
			l = mid + 1;
	}
	return -1;
}


int main(void)
{
	
	cout << "Binary Search (recursive) result: " << BinarySearch1(0, sizeof(a) / sizeof(a[0]) - 1, 5) << endl;;
	cout << "Binary Search (no recursive) result: " << BinarySearch2(4) << endl;
}

 

斐波那契查找

 在介紹斐波那契查找算法之前，我們先介紹一下很它緊密相連並且大家都熟知的一個概念——黃金分割。

　　黃金比例又稱黃金分割，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等於整體與較大部分之比，其比值約為1:0.618或1.618:1。

　　0.618被公認為最具有審美意義的比例數字，這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有着不可忽視的作用。因此被稱為黃金分割。

　　大家記不記得斐波那契數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….（從第三個數開始，后邊每一個數都是前兩個數的和）。然后我們會發現，隨着斐波那契數列的遞增，前后兩個數的比值會越來越接近0.618，利用這個特性，我們就可以將黃金比例運用到查找技術中。

　　 基本思想：也是二分查找的一種提升算法，通過運用黃金比例的概念在數列中選擇查找點進行查找，提高查找效率。同樣地，斐波那契查找也屬於一種有序查找算法。

　　相對於折半查找，一般將待比較的key值與第mid=（low+high）/2位置的元素比較，比較結果分三種情況：

　　1）相等，mid位置的元素即為所求

　　2）>，low=mid+1;

     3）<，high=mid-1。

　　斐波那契查找與折半查找很相似，他是根據斐波那契序列的特點對有序表進行分割的。他要求開始表中記錄的個數為某個斐波那契數小1，及n=F(k)-1;

 開始將k值與第F(k-1)位置的記錄進行比較(及mid=low+F(k-1)-1),比較結果也分為三種

　　1）相等，mid位置的元素即為所求

　　2）>，low=mid+1,k-=2;

　　說明：low=mid+1說明待查找的元素在[mid+1,high]范圍內，k-=2 說明范圍[mid+1,high]內的元素個數為n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1個，所以可以遞歸的應用斐波那契查找。

　　3）<，high=mid-1,k-=1。

　　說明：low=mid+1說明待查找的元素在[low,mid-1]范圍內，k-=1 說明范圍[low,mid-1]內的元素個數為F(k-1)-1個，所以可以遞歸 的應用斐波那契查找。

　　 復雜度分析：最壞情況下，時間復雜度為O(log₂n)，且其期望復雜度也為O(log₂n )。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAX_SIZE = 20;

int a[] = { 1, 5, 15, 22, 25, 31, 39, 42, 47, 49, 59, 68, 88 };

void Fibonacci(int F[])
{
	F[0] = 0;
	F[1] = 1;
	for (size_t i = 2; i < MAX_SIZE; i++)
		F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
	
}

int FibonacciSearch(int value)
{
	int F[MAX_SIZE];
	Fibonacci(F);
	int n = sizeof(a) / sizeof(int);

	int k = 0;
	while (n > F[k] - 1)
		k++;
	vector<int> temp;
	temp.assign(a, a + n);
	for (size_t i = n; i < F[k] - 1; i++)
		temp.push_back(a[n - 1]);

	int l = 0, r = n - 1;
	while (l <= r)
	{
		int mid = l + F[k - 1] - 1;
		if (temp[mid] < value){
			l = mid + 1;
			k = k - 2;
		}
		else if (temp[mid] > value){
			r = mid - 1;
			k = k - 1;
		}
		else{
			if (mid < n)
				return mid;
			else
				return n - 1;
		}
	}
	return -1;
}

int main()
{

	int index = FibonacciSearch(88);
	cout << index << endl;

}