設X1，X2，……Xn是i.i.d.隨機變量，Yn=(X1+...+Xn)/n。若將X1，X2……Xn看做是隨機變量X的n次采樣，那么Yn是X的采樣平均。E[Yn]=E[X]，Var(Yn)=Var(Xn)/n。
從圖形（圖……）中可以直觀看出，n越大，Yn分布曲線就越陡峭，E[Yn]在概率上就越能接近於mx。然而，無論n如何大，總存在着這樣的可能性，使得Yn落在設定的精度之外。
[……待續]
弱大數定律和強大數定律有相同的條件，區別在於結論。弱大數說依概率收斂，強大數說以概率1收斂（或者說幾乎處處收斂）。
依概率收斂的意思是，任意指定一個正數ε，無論n取多大，Xbar與μ的差大於ε的可能次數是無限的，但只要n足夠大（比如滿足切比雪夫不等式），差大於ε的次數占比趨於0。
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1. 看弱大數定律的定義式和證明；
2. 注意區分弱大數定律定義式中的ε（ε1）和極限定義中用的ε（ε2），這是兩個不同的ε；
3. 用極限的定義去理解弱大數定律的定義式（對任意小的正數ε2， 總能找到一個數N，使得當n>N時，弱大數定律定義式的P<ε2）。
4. 從3中可看出，P永不能取得0，而只能在極限的概念上趨近於0。也就是上面說的，
a)無論n如何大，總存在着這樣的可能性，使得Yn落在設定的精度之外；
b)Xbar與μ的差大於ε的可能次數是無限的，但占比趨於0。
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以概率1收斂的意思是說只要n足夠大，任意指定一個正數ε，總能找到一個N，使n>N時，Xbar與μ的差大於ε的次數是有限的。
大數定律要求期望有限，否則大數定律不成立。
仍然以拋硬幣作為例子。
你拋了N次硬幣，總可以在數學上計算出各種可能情況的概率。如果N較小，或許可以觀察到全正面或全反面的情況；當N是一個大數，全正面或全反面的概率雖不能完全排除，但會迅速縮小。以大數定律的口吻來說，給定一個數ε1>0，總存在一個拋硬幣次數N， 當實驗次數大於N時，|出現正面頻率-1/2|>ε1的概率小於一個指定的數ε2（弱），或|出現正面頻率-1/2|>ε1只出現有限次（強）。[?]