最長公共子序列問題

問題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地（不一定連續）去掉若干個字符（可能一個也不去掉）后所形成的字符序列。令給定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一個嚴格遞增下標序列<i0，i1，…，ik-1>，使得對所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個子序列。

解決方法：

1、窮舉法：針對序列x中所有的子序列(共2^m個)，在Y序列中尋列是否存在相同序列，並找出其中最大的序列。這種方法的時間復雜度為O(2^m*2^n)。

2、動態規划法：引進一個二維數組c[][]，用c[i][j]記錄X[i]與Y[j] 的LCS 的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪一個子問題的值求得的，以決定搜索的方向。可以通過以下公式來計算從c[i][j]的值。

復雜度分析：

時間復雜度：O(m*n);

空間復雜度：O(m*n);

代碼：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <string>
#define MAXLEN 100
using namespace std;

void GetLCSLen(string str1, string str2,int m,int n,int c[][MAXLEN],int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;
    for (i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for (j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    
    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
            {
                c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else
            {
                if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
                {
                    c[i][j] = c[i - 1][j];
                    b[i][j] = 1;
                }
                else
                {
                    c[i][j] = c[i][j - 1];
                    b[i][j] = 2;
                }
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], string x, int i, int j)  //遞歸回溯最長子序列
{
    if (i == 0 || j == 0)
        return;
    if (b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i - 1, j - 1);
        cout<<x[i-1];
    }
    else if (b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i - 1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j - 1);
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    string s1 = "ABCBDAB";
    string s2 = "BDCABA";
    int strlen1 = s1.size();
    int strlen2 = s2.size();
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN]; 
    GetLCSLen(s1,s2,strlen1,strlen2,c,b);
    cout << c[strlen1][strlen2] << endl;  //輸出最長子序列長度
    PrintLCS(b,s1,strlen1,strlen2);
    return 0;
}

運行結果：

參考資料：

1、http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482

2、http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630