題目取自：《數據結構與算法分析:C語言描述_原書第二版》——Mark Allen Weiss
練習1.5(a) 證明下列公式: logX < X 對所有 X > 0 成立。(注意：計算機科學中，若無特別說明，所有對數都是以2為底的)
這個小題，看似簡單。乍一看一高中證明題而已嘛。實則不然，我根據高中時常用的思路解了一下:
設 f(X) = X - logX，其中X>0。
易知 f(0) = 0 + ∞ > 0，f(X)′ = 1 - 1/(Xln2)，令f(X)′ = 0，解得X = 1/ln2。
於是當 0< X < 1/ln2時，f(X)′ < 0，函數單調遞減。
X > 1/ln2時，f(x)' > 0，函數單調遞增。
所以f(1/ln2)為函數的極小值點。到這里我們只需要求出 f(1/ln2) = 1/ln2 - log(1/ln2) > 0 問題就得證了。結果的確大於零，不過計算結果只得求助於計算器(對減數進行放大也行不通)。對於求助於計算器的問題多少讓人感覺不爽。到這里才想到，高中應該做的是lnX < X，問題一下就得到了可靠的答案(這里可靠的意思：不用借助計算器)。
我帶着這個多少讓人不爽的問題到網上搜了一圈，也沒有多大的收獲，很多還是錯誤的。不得已網搜了一下題解，發現本書竟然有作者提供的答案，於是果斷搬了過來:)
不多說了，趕緊隨我來膜拜一下Weiss吧：
證明采用數學歸納法。
0 < X ≤ 1 時，logX < X 顯然成立。因為X = 1時，log1 = 0 < 1。X < 1時，logX為負數，明顯小於X。
同樣顯然的情況是1 < X ≤ 2 時。因為log2 = 1 < 2，且X < 2 時logX < 1。
准備好了，最精彩的部分來了：
歸納基礎：1< X ≤ 2 時命題成立，由上可知。
歸納假設：假設命題對任意正整數p(p≥1)，p < X ≤ 2p 時命題成立，求證對於任意的正整數p，2p < Y < 4p命題成立。
證明：logY = log(2·Y/2) = log2 + log(Y/2) < 1 + Y/2 < (Y/2 + Y/2 = Y)。
即logY < Y成立。
數學歸納法的步驟是完美的，因此命題logX < X，X > 0成立。
PS:由於答案是英文的，這里對語序做了下調整，且對不易理解的部分做了補充。