1 / x * x = 1， 所以， 1 / x 和 x 是 同階 且 等價 的 無窮大 和 無窮小， 這里 同階 的 意思 是 相乘 的 結果 是 常數， 等價 是 相乘 的 結果 是 1 。
等價無窮小， 同階無窮小， 高階無窮小， 等價無窮大， 同階無窮大， 高階無窮大， 這些 是 加減乘除 四則運算 這一層面 的 概念 ， 也可以算上 乘方 開方 。
但 當 變量 x 同時出現在 底數 和 指數 時， 情況 就 一樣了， 底數 和 指數 之間 不能 “約分” 或 “相減” 。 比如， 底數 是 無窮小， 指數 是 無窮大， 兩者 等價，或者 同階， 但 並不能 通過 約分 或 相減 約掉消掉 化簡 。
那 要 怎么計算 ( 1 / x ) ^ x , x -> 無窮 的 極限 呢 ？
( 1 / x ) ^ x , x -> 無窮
= [ e ^ ln ( 1 / x ) ] ^ x
= e ^ [ ln ( 1 / x ) * x ]
這樣， 只要 求得 ln ( 1 / x ) * x , x -> 無窮 的 極限 就可以 知道 ( 1 / x ) ^ x , x -> 無窮 的 極限 了 。
當 x -> 無窮 時， 1 / x -> 0 ， ln ( 1 / x ) -> - 無窮 ， x -> 無窮， ln ( 1 / x ) * x = - 無窮 * 無窮 = - 無窮
( 1 / x ) ^ x , x -> 無窮
= e ^ [ ln ( 1 / x ) * x ]
= e ^ ( - 無窮 )
-> 0
做完了以后， 發現， 其實 ( 1 / x ) ^ x , x -> 無窮 的 答案 看 就可以看出來， 當 x -> 無窮 時， 1 / x -> 0 ， 是 無窮小， 無窮小 的 無窮次方 當然 更 趨於 0 了， 也是 無窮小 。
不過， 因為 ( 1 / x ) ^ x 里， x 同時 出現在 底數 1 / x 和 指數 x 里， 所以， 看起來 還是 有一點迷惑性的 。
這里 也可以用 2 、10 或 其它 數 為 底 的 對數， 但 自然對數 的 好處 是 ， 積分 和 求導數 都 實現 了， 自然對數 向上 n 階積分 和 向下 n 階求導 都 打通了， 可以用 洛必達法則 求 包含 自然對數 的 0 / 0 型 極限， 泰勒展開 也可以 。 當然， ( 1 / x ) ^ x , x -> 無窮 很簡單， 沒有 用到 0 / 0 型 極限 。
其實 還有 兩個 極限 比 ( 1 / x ) ^ x , x -> 無窮 有趣， 它們 是 x ^ x , x -> 0 和 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 。
x ^ x , x -> 0
= ( e ^ ln x ) ^ x
= e ^ ( x * ln x )
求出 x * ln x , x -> 0 的 極限， 就可以求出 e ^ ( x * ln x ) , x -> 0 的 極限 。
x * ln x , x -> 0 ， 因為 x -> 0 ， ln x -> - 無窮 ， 是 0 * 無窮 型 極限， 轉成 0 / 0 后 用 洛必達法則，
x * ln x , x -> 0
= x / ( 1 / ln x )
= x ′ / ( 1 / ln x ) ′
= 1 / [ - 1 / ( ln x ) ² * 1 / x ]
= - x / [ 1 / ( ln x ) ² ] (1) 式
分子 x -> 0 ， 分母 1 / ( ln x ) ² -> 0， 還是 0 / 0 型， 再用 洛必達法則，
( - x ) ′ / [ 1 / ( ln x ) ² ] ′
= - 1 / [ - 2 / ( ln x ) ³ * 1 / x ]
= 1 / 2 * x / [ 1 / ( ln x ) ³ ]
分子 x -> 0 ， 分母 1 / ( ln x ) ³ -> 0， 還是 0 / 0 型， 看得出來， 再用 洛必達法則， 仍然是 0 / 0 ， 一直用下去， 無論 洛 多少次， 永遠都是 0 / 0， ln x 的 次方 越來越大 。
咦 ？ 洛必達法則 不靈 了 ？
想想辦法，可以這樣，
由 (1) 式 ，
x * ln x , x -> 0 = - x / [ 1 / ( ln x ) ² ]
x * ln x = - x / [ 1 / ( ln x ) ² ]
x * ln x = - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 不等於 0 ， 則 可 約掉，
1 = - 1 / ( 1 / ln x )
1 = - ln x
因為 x -> 0 ， ln x -> - 無窮 ， 則
1 = - - 無窮
1 = 無窮
顯然， 這是 不成立 的， 也就是， x * ln x 不等於 0 不成立， 也就是 x * ln x 應該 等於 0 ， 即
x * ln x = 0
但這里是 求 極限， 在 過程 里 假設 x * ln x 不等於 0 ， 結果 又是 x * ln x = 0， 如此 毫無顧忌 的 肆無忌憚 的 明目張膽 的 使用 “等於” 、“不等於”， 且 過程 還 認為 0 * 無窮 = 0， 凡此種種， 會不會有問題 ？ 會不會 隱藏了 邏輯錯誤 和 數理錯誤 而 過程 和 結果 是 錯誤 的 ？
嚴格一點， 應該說，
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 常數， 則
常數 -> 無窮
這不成立， 排除 這種情況 。
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 無窮， 則
無窮 -> 無窮 / 無窮小
無窮 -> 高階無窮
這不成立， 排除 這種情況 。
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 無窮小， 和 ( 1 / ln x ) 同階， 則
無窮小 -> 常數
這不成立， 排除 這種情況 。
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 無窮小， 比 ( 1 / ln x ) 低階， 則
無窮小 -> 無窮
這不成立， 排除 這種情況 。
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 無窮小， 比 ( 1 / ln x ) 高階， 則
高階無窮小 -> 無窮小
這可以成立， 這也就是 結論， x * ln x 是 無窮小， 即
x * ln x -> 0
要 澄清一點， 為什么 “無窮 -> 高階無窮” 不成立， 而 “高階無窮小 -> 無窮小” 成立 呢 ？ 因為 無窮 - 高階無窮 = - 無窮， 而 高階無窮小 - 無窮小 = 無窮小 -> 0 。
“無窮 -> 高階無窮” 也 可以 寫成 “高階無窮 -> 無窮”， 兩者 是 一樣 的 。
“高階無窮小 -> 無窮小” 也 可以 寫成 “無窮小 -> 高階無窮小”， 兩者 是 一樣 的 。
“無窮小 -> 高階無窮小” 和 “無窮 -> 高階無窮” 這種 無窮量 之間 的 趨近關系 似乎 是 我 在 這里 發明 的 ， 這 參考了 數列 的 極限 的 定義 。
把 數列 的 極限 的 定義 擴展一下， 就可以 得出 這種 無窮量 之間 的 趨近關系 定義 。 趨近關系 也可以說 趨近行為 。
這種 無窮量 的 趨近行為 也許可以 解決 一些 問題， 比如 上面的 求 x * ln x , x -> 0 極限 問題 。 也可以 讓 我們 發現 一些 特殊 的 極限現象， 進一步 了解 極限 的 意義 和 奧秘 。
由上， x * ln x , x -> 0 = 0 ， 所以，
x ^ x , x -> 0
= e ^ ( x * ln x )
= e ^ 0
= 1
x ^ x , x -> 0 = 1 (2) 式
這里 又 引出了 民科吧 爭論 的 0.9999 …… = 1 的 問題 。 因為 0.9999 …… = 1 ， 所以 0.0000……1 = 0 ，
0.0000……1 是 無窮小， x -> 0 也是 無窮小， 也就是 0.0000……1 = x -> 0 ， 也就是 當 x -> 0 時， x = 0.0000……1
於是，
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ x
= 0 ^ x
0 ^ x , x -> 0 等於多少 ？ 因為 x -> 0， x = 0.0000……1 = 1 / 無窮 ， 0 ^ x , x -> 0 = 0 ^ ( 1 / 無窮 ) = 0 開無窮次方
0 開無窮次方 等於多少 ？ 無數個 0 相乘 等於 0， 所以， 0 開無窮次方 等於 0 ， 即 0 ^ x , x -> 0 = 0
於是，
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ x
= 0 ^ x
= 0
x ^ x , x -> 0 = 0 (3) 式
上面 算出來 的 x ^ x , x -> 0 = 1 ， 見 (2) 式， 現在 算出來 的 x ^ x , x -> 0 = 0 ， 見 (3) 式 ， 1 != 0 ， 這 兩個 結果 是 矛盾 的 。
這個 現象 就和 0.9999 …… = 1 矛盾了， 因為 如果 0.9999 …… = 1 ， 那么 (2) 式 和 (3) 式 算出來 的 x ^ x , x -> 0 應該 相等 。
事實上， 根據 0.0000……1 = 0 ， 應該是，
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ 0.0000……1
= 0 ^ 0
把 底數 和 指數 的 兩個 x 都 換成 0， 但 問題 是， 0 ^ 0 沒有 辦法計算 。
0 ^ 0 等於多少， 這個 是 誰也說不清楚 的， 雖然 不能 直接計算， 但 我們可以 間接 的 計算， 比如 上面 的 (2) 式 (3) 式 ， 歸納一下， 可以有 三種方式， 當然 也可以更多 ：
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ 0.0000……1
= 1
這是 (2) 式 的 做法
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ 0.0000……1
= 0 ^ 0.0000……1
= 0
這是 (3) 式 的 做法
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ 0.0000……1
= 0.0000……1 ^ 0
= 1 (4) 式
請 給 我們 一個 理由， 我們 應該 選擇 (2) 式 ？ (3) 式 ？ 還是 (4) 式 ？
莫非 函數 y = x ^ x 應該選擇 (2) 式 ？ 函數 y = 0 ^ x 應該選擇 (3) 式 ？ 函數 y = x ^ 0 應該 選擇 (4) 式 ？
如果 數學 規定 0 ^ 0 = 1 ， 對 y = 0 ^ x 如何交代 ？
但 y = x ^ x 憑什么 一定 選擇 (2) 式 ？ 理由 是 什么 ？ y = x ^ x 選擇 (3) 式 也可以嘛 。
由此可見， 0.9999 …… = 1 是 在 某些 場景 的 一個 解釋， 這些 場景 可以 適應 和 兼容 0.9999 …… = 1 這個 解釋 。 也可以說， 0.9999 …… = 1 是 為了 實現 某些 需求 的 一個解釋， 這個解釋 在 一定 的 條件下 合理 、可成立 。 如果 這些 需求 兼容 0.9999 …… = 1 合理 所需 的 條件， 則 在 這些 需求場景 下， 就可以 使用 0.9999 …… = 1 這個解釋 。
其實 不是 我 老想着 0.9999 …… = 1 問題， 是 這里 又 碰到了， 哈哈 。 當然 平時 在 各種 數學問題 中， 似乎 也 總能想起 0.9999 …… = 1 和 無窮 等 問題 。 另外， 民科吧 天天吵 0.9999 …… = 1 吵得 我 想 不關注 也 不行 。
接下來 看看 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 ， 這是 無窮 的 0 次方 。
( 1 / x ) ^ x , x -> 0
= [ e ^ ln ( 1 / x ) ] ^ x
= e ^ [ x * ln ( 1 / x ) ]
x * ln ( 1 / x ) , x -> 0
= x / [ 1 / ln ( 1 / x ) ]
x -> 0 ， 1 / x -> 無窮 ， ln ( 1/ x ) -> 無窮 ， 1 / ln ( 1/ x ) -> 0
x / [ 1 / ln ( 1/ x ) ] 是 0 / 0 型 極限， 用 洛必達法則，
x / [ 1 / ln ( 1 / x ) ] , x -> 0
= ( x ) ′ / [ 1 / ln ( 1 / x ) ] ′
= 1 / { - 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² * x * ( - 1 / x ² ) }
= x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² }
x -> 0 ， ln ( 1 / x ) -> 無窮 ， [ ln ( 1 / x ) ] ² -> 無窮 ， 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² -> 0
x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² } 還是 0 / 0 型 極限， 接着 用 洛必達法則，
x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² } , x -> 0
= ( x ) ′ / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² } ′
= 1 / { - 2 / [ ln ( 1 / x ) ] ³ * x * ( - 1 / x ² ) }
= 1 / 2 * x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ³ }
x -> 0 ， ln ( 1 / x ) -> 無窮 ， [ ln ( 1 / x ) ] ³ -> 無窮 ， 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ³ -> 0
x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ³ } 還是 0 / 0 型 極限， 看得出來， 再用 洛必達法則， 仍然是 0 / 0 ， 一直用下去， 無論 洛 多少次， 永遠都是 0 / 0， ln ( 1 / x ) 的 次方 越來越大 。
這個 0 / 0 無限連 的 情況 和 上面 x ^ x , x -> 0 一樣 。 額 …… 洛必達 又 不靈 了 。
但 我們可以用 和 x ^ x , x -> 0 一樣 的 辦法 ， 求得 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 的 極限 是 1 ， 即
( 1 / x ) ^ x , x -> 0 = 1
無窮 的 0 次方 等於 1 。
大家還可以 試試 ( 1 / x ² ) ^ x , x -> 0 等於什么 ， ( 1 / x ³ ) ^ x , x -> 0 呢 ？ ( 1 / x ⁴ ) ^ x , x -> 0 呢 ？
也可以這樣看，
[ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x ) , x -> 0
= ( 1 / x ) ^ ( x * 1 / x )
= ( 1 / x ) ^ 1
= 1 / x
當 u -> 無窮 時， u ² 、u ³ 、u ⁴ 都是 無窮， u ² 是 u 的 高階無窮， u ² 比 u 高一階， u 比 u ² 低一階 。
u ³ 是 u 的 高階無窮， u ³ 比 u 高二階， u 比 u ³ 低二階 。
當 u -> 0 時， u 是 無窮小， u ² 、u ³ 、u ⁴ 都是 無窮小， u ² 是 u 的 高階無窮小， u ² 比 u 高一階， u 比 u ² 低一階 。
u ³ 是 u 的 高階無窮小， u ³ 比 u 高二階， u 比 u ³ 低二階 。
可知 [ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x ) 是 比 ( 1 / x ) ^ x 高了 1 / x - 1 階 的 量 ，
當 x -> 0 時， 1 / x -> 無窮 ， 1 / x - 1 -> 無窮， [ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x ) 比 ( 1 / x ) ^ x 高了 無窮 階 。
又 因為 [ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x ) = 1 / x ， 也就是 1 / x 比 ( 1 / x ) ^ x 高了 無窮 階 。
即 1 / x 是 比 ( 1 / x ) ^ x 高了 無窮 階 的 量， ( 1 / x ) ^ x 是 比 1 / x 低了 無窮階 的 量 。
以 x 為 標准， x -> 0 時， x 是 一階無窮小， 則 1 / x 是 一階無窮，
以 ( 1 / x ) ^ x 為 標准， x -> 0 時， ( 1 / x ) ^ x 比 1 / x 低了 無窮階 。
然后， 我也不知道 想說什么， 挺繞的 。 似乎想說， 對 這樣 的 以 ( 1 / x ) ^ x 為 標准 的 低了 無窮階 ， 能不能 從 直觀 上 來 看， 來 理解， 從 直觀 上 看出 結論 ？ 或 看出個 端倪 ？
當 x -> 0 時， 1 / x -> 無窮 ， 所以， ( 1 / x ) ^ x 是 比 一階無窮 低了 無窮階 的 量 ， 但 這個 低了 無窮 階 的 階 又 不是 一階無窮 的 階， 而是 以 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 為 標准 的 階 。
比 一階無窮 低了 以 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 為 標准 的 階 的 無窮階 的 量， 是 什么 ？ 是 無窮 ？ 或是 常數 ？ 或是 無窮小 ？
從 直觀 上 看， 如何 ？ 從 數理 上 看， 如何 ？