公共子序列與公共子串問題

1、公共子序列問題

網上有很多關於公共子序列問題，說的大同小異，看了很多不明白，很多都是晦澀難懂，這里分享一個連接，個人覺得講述的比較明白，易懂。

http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482

我這里也簡單的把自己的理解說一下，求公共子序列問題是一個非常常見的問題，最差的方法就是暴力匹配，暴力匹配算法第一步求去短字符串的所有序列組合，然后從長到短一個一個的去匹配時候有公共序列相同，即使使用了這樣的剪枝，該算法效率任然很低。

比較受人青睞的算法當然莫過於動態規划了，動態規划的核心是找到轉移方程。把復雜的問題通過轉移方程轉移到子問題。

• 動態規划算法

    事實上，最長公共子序列問題也有最優子結構性質。

記:

Xi=﹤x1，⋯，xi﹥即X序列的前i個字符 (1≤i≤m)（前綴）

Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即Y序列的前j個字符 (1≤j≤n)（前綴）

假定Z=﹤z1，⋯，zk﹥∈LCS(X , Y)。

• 若xm=yn（最后一個字符相同），則不難用反證法證明：該字符必是X與Y的任一最長公共子序列Z（設長度為k）的最后一個字符，即有zk = xm = yn 且顯然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前綴Zk-1是Xm-1與Yn-1的最長公共子序列。此時，問題化歸成求Xm-1與Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的長度等於LCS(Xm-1 , Yn-1)的長度加1）。

• 若xm≠yn，則亦不難用反證法證明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由於zk≠xm與zk≠yn其中至少有一個必成立，若zk≠xm則有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，類似的，若zk≠yn 則有Z∈LCS(X , Yn-1)。此時，問題化歸成求Xm-1與Y的LCS及X與Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的長度為：max{LCS(Xm-1 , Y)的長度, LCS(X , Yn-1)的長度}。

    由於上述當xm≠yn的情況中，求LCS(Xm-1 , Y)的長度與LCS(X , Yn-1)的長度，這兩個問題不是相互獨立的：兩者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的長度。另外兩個序列的LCS中包含了兩個序列的前綴的LCS，故問題具有最優子結構性質考慮用動態規划法。

    也就是說，解決這個LCS問題，你要求三個方面的東西：1、LCS（Xm-1，Yn-1）+1；2、LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）；3、max{LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）}。

所以解決這個問題的動態轉移方程即：

if xm==yn  LCS(Xm,Yn)= LCS（Xm-1，Yn-1）+1;
if xm!=yn LCS(Xm,Yn)=  max{LCS（Xm-1，Yn),LCS（Xm，Yn-1)};

代碼如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

/*
c[i][j]存儲的是字串1到i位置，字串2到j位置時公共子序列的最大長度

if str1[i] == str2[j]    c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
if str1[i] != str2[j]    c[i][j] = max{c[i-1][j],c[i][j-1]}
*/
int lcs(char *str1,char *str2,int len1,int len2,int c[100][100])
{
    if (str1 == NULL || str2 ==NULL)
    {
        return -1;//輸入字符串錯誤
    }
    //初始化記錄dp的二維數組
    for (int i = 0; i <= len1; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= len2; j++)
        {
            c[i][j] = 0;
        }
    }
    //dp運算
    for (int i = 1; i <= len1; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= len2; j++)
        {
            if(str1[i-1] == str2[j-1])
            {
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
            }
            else {
                c[i][j] = c[i-1][j]>c[i][j-1]?c[i-1][j]:c[i][j-1];
            }
        }
    }
    //打印出dp數組存儲的內容
    for (int i = 0; i <= len1; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= len2; j++)
        {
            printf("%d ",c[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    //打印出公共子序列
    char str[100]={0};
    int index = c[len1][len2]-1;
    for (int i = len1,j = len2; i>0&&j>0;)
    {
        if(str1[i-1] == str2[j-1])
        {
            str[index--] = str1[i-1];
            i--;
            j--;
        }
        else 
        {
            if(c[i][j-1]>c[i-1][j])
            {
                j--;
            }else 
            {
                i--;
            }
        }
    }
    printf("公共子序列為：%s\n",str);
    return c[len1][len2];
}


int main(int argc, char **argv)
{
    char str1[] = {"ABCBDAB"};
    char str2[] = {"BDCABA"};
    int c[100][100];
    int len1 = strlen(str1);
    int len2 = strlen(str2);
    int num = lcs(str1,str2,len1,len2,c);
    printf("公共子序列的長度：%d\n",num);
    return 0;
}

 運行結果

 

2、最大公共子串

首先區分下公共字串和公共子序列的區別，公共子序列是在整個字符串中只要按照順序可以不用連續的，但是公共子串是指必須連續的字符串，舉個例子

 

ABCBDAB

BDCABA

公共子序列是  BCBA

公共字串是  AB

求公共字串比公共子序列稍微簡單了一些，如果上邊所述，公共子串也可以用暴力匹配方法，求出較短的字符串的所有子串，然后可以從長到短利用kmp字符串匹配算法求出公共子串，同時還添加了剪枝，但是字樣的暴力匹配效率始終是比較差的，最好的方法還是使用動態規划。

根據上邊公共子序列動態規划的方法分析，其實我們可以發現公共子串和公共子序列非常類似

只是在狀態轉移方程是稍有不同，

   事實上，最長公共子串問題也有最優子結構性質。

記:

Xi=﹤x1，⋯，xi﹥即X序列的前i個字符 (1≤i≤m)（前綴）

Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即Y序列的前j個字符 (1≤j≤n)（前綴）

假定Z=﹤z1，⋯，zk﹥∈LCS(X , Y)。

• 若xm=yn（最后一個字符相同），則不難用反證法證明：該字符必是X與Y的任一最長公共子串Z（設長度為k）的最后一個字符，即有zk = xm = yn 且顯然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前綴Zk-1是Xm-1與Yn-1的最長公共子串。此時，問題化歸成求Xm-1與Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的長度等於LCS(Xm-1 , Yn-1)的長度加1）。

• 重要的是這里的不同：

  • 若xm≠yn，由於zk≠xm與zk≠yn 那么說明之前相同的字符串也不能連接起來，此時的LCS(X,Y) 的長度回歸到0重新找最長的公共子串。

所以：關於最長公共子串的動態轉移方程為：

if xm==yn  LCS(Xm,Yn)= LCS（Xm-1，Yn-1）+1;
if xm!=yn LCS(Xm,Yn)=  0;

代碼如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

/*
c[i][j]存儲的是字串1到i位置，字串2到j位置時公共字串的最大長度

if str1[i] == str2[j]    c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
if str1[i] != str2[j]    c[i][j] = 0
*/
int lcs(char *str1,char *str2,int len1,int len2,int c[100][100])
{
    if (str1 == NULL || str2 ==NULL)
    {
        return -1;//輸入字符串錯誤
    }
    //初始化記錄dp的二維數組
    for (int i = 0; i <= len1; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= len2; j++)
        {
            c[i][j] = 0;
        }
    }
    //dp運算
    int max = -1;
    int col=0,row=0;
    for (int i = 1; i <= len1; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= len2; j++)
        {
            if(str1[i-1] == str2[j-1])
            {
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
                if(c[i][j]>max)
                {
                    row = i;
                    col = j;
                    max = c[i][j];
                }
            }
            else {
                c[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    //打印出dp數組存儲的內容
    for (int i = 0; i <= len1; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= len2; j++)
        {
            printf("%d ",c[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    //打印出公共子串
    printf("最長公共子串：");
    for (int i = row-max; i<row;i++)
    {
        printf("%c",str1[i]);
    }
    printf("\n");
    return max;
}


int main(int argc, char **argv)
{
    char str1[] = {"ABCBDAB"};
    char str2[] = {"BDCABA"};
    int c[100][100];
    int len1 = strlen(str1);
    int len2 = strlen(str2);
    printf("字符串1：%s\n",str1);
    printf("字符串2：%s\n",str2);
    int num = lcs(str1,str2,len1,len2,c);
    printf("公共子序列的長度：%d\n",num);
    return 0;
}

結果：