$\newcommand\Im{\operatorname{Im}}$
$\newcommand\Ker{\operatorname{Ker}}$
$\newcommand\grad{\operatorname{grad}}$
$\newcommand\div{\operatorname{div}}$
$\newcommand\rot{\operatorname{rot}}$
$\newcommand\R{\mathbb{R}}$
本文主要來自於 Ib H. Madsen,Jxrgen Tornehave《從微積分到上同調》
故事要從牛頓-萊布尼茲公式說起。
(微積分基本定理)若$f(x)$是定義在開區間$(a,b)$上的連續函數$\Rightarrow$存在$F$,使得$F'=f$.
這個定理是現代微積分的基石。但是由於這個定理只描述了一元函數的情況，人們自然想“是否能把它推廣到二元函數”？比如說，給定了一個函數$f=(f_1,f_2):U\to \mathbb{R}^2$,為定義在$\mathbb{R}^2$上開集$U$的光滑函數，那是否存在$F:U\to\mathbb{R}$,使得$\nabla F=f$?
也就是說，是否$\exists F$,使得\[\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\frac{\partial F}{\partial x_1}\right)=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial F}{\partial x_2}\right)=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\]
(PS:這也給出了一個$F$存在的必要條件，也就是需要$\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}$)
但是滿足了必要條件卻不一定存在這樣的$F$,書中就給出了這樣一個經典的例子：
例子1 $U=\mathbb{R}^2\backslash \{0\},f:U\to\mathbb{R}^2, (x_1,x_2)\mapsto (\frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2},\frac{x_1}{x_1^2+x_2^2})$
我們認為，不存在$F:U\to\mathbb{R}^2$,使得$\frac{\partial F}{\partial x_1}=f_1,\frac{\partial F}{\partial x_2}=f_2$. 否則的話就有
\[\frac{d}{d\theta}F(\cos{\theta},\sin{\theta})=\frac{\partial F}{\partial x_1}(\cos{\theta},\sin{\theta})(-\sin{\theta})+\frac{\partial F}{\partial x_2}(\cos{\theta},\sin{\theta})(\cos{\theta})=1\]
但是另外又有\[\int_{0}^{2\pi}\frac{d}{d\theta}F(\cos{\theta},\sin{\theta})d\theta=F(\cos{\theta},\sin{\theta})|_{0}^{2\pi}=0\]
矛盾！
例子2 $U=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2|x_1^2+x_2^2<1\}$為開集,則$f:U\to\mathbb{R}^2,(x_1,x_2)\mapsto (x_1^2+x_2,x_1)$有“原函數” $F(x_1,x_2)=\frac{1}{3}x^3+x_1x_2$
為什么這個函數存在所謂的“原函數”呢？其實這和區域的性質有關，實際上，定義在這個單位圓盤上滿足必要條件的函數都有“原函數”。更推廣地我們可以刻畫這個區域，也即“星形區域”(Star-shaped).
定義 $U\in\mathbb{R}^2$為開集，$U$被稱為關於$x_0$的星形區域，如果對於$\forall x\in U$,線段$\overline{x_0 x}\subset U$.
如圖就是一個星形區域。而例1中的區域並非星形的，因為任意$x_0$，它關於原點的對稱點不能連線段在區域內。
星形區域有什么好的性質呢？正如前面所說，在這個區域內，就有$\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}$與存在原函數$F$等價！具體定理敘述如下：
定理1 $U\in\mathbb{R}^2$是開的星形區域，且$f:U\to\mathbb{R}^2$光滑(實際上只要可導似乎就行了)，$f=(f_1,f_2)$.且$\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}$,那么$\exists F:U\to\mathbb{R}$ 光滑，且有$\frac{\partial F}{\partial x_1}=f_1,\frac{\partial F}{\partial x_2}=f_2$.
WLOG，我們可設$U$關於$x_0=0\in \mathbb{R}^2$是星形的。令
\[F(x_1,x_2)=\int_{0}^{1}(x_1 f_1(tx_1,tx_2)+x_2 f_2(tx_1,tx_2))dt\]
那么計算$\frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2)$,可以得到
\[\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2)&=\int_0^1 [f_1(tx_1,tx_2)+tx_1\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(tx_1,tx_2)+tx_2\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(tx_1,tx_2)]dt\\ &= \int_{0}^1\frac{d}{dt}(tf(tx_1,tx_2))=f_1(x_1,x_2)\end{align*}\]
同理亦可得另一邊的等式。$\square$
為什么星形區域有兩者等價，而去掉一點的區域卻不行呢？我們再用場論的符號來敘述下以上的事實。
$U\in\mathbb{R}^2$,我們要研究的是$C^{\infty}(U,\mathbb{R}^k)=\{\mbox{smooth function on }U\}$,這個可看成一個線性空間。
我們定義符號$\grad:C^{\infty}(U,\mathbb{R})\to C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$,使得$\grad(f)=(\frac{\partial f_1}{\partial x_1},\frac{\partial f_2}{\partial x_2})$
以及$\rot:C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)\to C^{\infty}(U,\mathbb{R})$,使得$\rot((f_1,f_2))=\frac{\partial f_1}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_1}$
則我們可以給出如下的鏈：
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
C^{\infty}(U,\mathbb{R}) @>{\grad}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2) @>{\rot}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R})
\end{CD}$$
有兩條性質
- $\rot\circ\grad = 0$(由於導數可交換)
- $\Im(\grad)\in\Ker(\rot)$（由1立刻得到）
為了刻畫這兩者之間的包涵關系，我們定義
$$H^1(U):=\frac{\Ker(\rot)}{\Im(\grad)}={\alpha+\Im(\grad)}$$
這樣一個商群就是所謂的第一上同調群，代表元$[\alpha]=[\beta]\Leftrightarrow \alpha-\beta\in\Im(\grad)$，值得一提的是$H^1(U)$通常是有限維的。
前面的定理1讓我們知道，對於開星形區域$U$,就有$\Ker(\rot)\in\Im(\grad)$,從而$H^1(U)$中只有$0$元（這也是定理1的重述）。而從例子1我們知道，對於$U=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$,$H^1(U)\not = 0$.
同樣我們可以定義第0上同調群，也就是$H^0(U)=\Ker(\grad)$
我們同樣可以計算某些區域的第0上同調群，定理如下：
定理2 $U$為$\mathbb{R}^2$中連通開集，那么有$H^0(U)=\mathbb{R}$
這個證明也很顯然，因為$f$總在一個局部為常數，而且集合連通，使$f$為常數的區域既開又閉，從而在整個區域上都為常數。
考慮完二維的情況，我們同樣可以考慮三維的情況，這時候有這樣一個鏈
$$\begin{CD}
C^{\infty}(U,\mathbb{R}) @>{\grad}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R}^3) @>{\rot}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R}^3)@>{\div}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R})
\end{CD}$$
這三個東西的定義經過計算同樣有 $\rot\circ\grad=0,\div\circ\rot=0$
所以類似地我們定義幾個上同調群，即
$$H^0(U)=\Ker(\grad),H^1(U)=\frac{\Ker(\rot)}{\Im(\grad)},H^2(U)=\frac{\Ker(\div)}{\Im(\rot)}$$
(讀到這想必也發現了，同調與上同調無非就是兩個算子$\partial_1\circ\partial_2=0$定義出的群$\Ker(\partial_1)/\Im(\partial_2)$而已，沒什么高深的知識，不過在拓撲中卻非常有用)
定理3 在$\mathbb{R}^3$中的開星形區域$U$，有$H^0(U)=\mathbb{R},H^1(U)=0,H^2(U)=0$
前兩個同調用前面的方法即可，我們需要算的是$H^2(U)=0$,只需要對於$\forall F\in\Ker(\div)$，找到$G$使得$\rot(G)=F$。而顯然
\[G(\vec{x})=\int_0^1(F(t\vec{x})\times(t\vec{x}))dt\]
滿足條件。
同樣我們也舉出例子，讓$H^1(U)\not = 0$.
例3 $S=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3,x_1^2+x_2^2=1,x_3=0\}$,而區域$U=\mathbb{R}^3\backslash S$,則令$$f(x_1,x_2,x_3)=\left(\frac{-x_1x_3}{x_3^2+(x_1^2+x_2^2-1)^2},\frac{-x_2x_3}{x_3^2+(x_1^2+x_2^2-1)^2},\frac{x_1^2+x_2^2-1}{x_3^2+(x_1^2+x_2^2-1)^2}\right)$$
我們聲稱$\rot(f)=0$,即$[f]\in H^1(U)$但是$H^1(U)\not = 0$,否則若$\exists F\in C^{\infty}(U,\mathbb{R})$，使得$\grad{F}=f$
那么考慮曲線$\gamma(t)=(\sqrt{1+\cos{t}},0,\sin{t}),-\pi\le t\le \pi$,則有$\frac{d}{dt}F(\gamma(t))=1,\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d}{dt}F(\gamma(t))dt=0$.
從上我們可以大致有這樣一點想法：如果$H^1(U)\not = 0$,那就有個$1$維的“洞”，那么是不是$H^2(U)\not =0$就表明有$2$為的洞了呢？這個博主還不是很明白，需要繼續學習，來補充這篇文章。