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長久以來，“空間變換”這個話題對我就像是謎一樣的存在。我了解這種事物所講的起因和結果，卻始終對當中的過程參悟不透。我知道，這是因為大學時經常逃課的結果：至今線性代數這門知識，都不曾系統性地學過一遍。今日，當每每不得不接觸這個令人膽寒的東西時，我總是小心翼翼地記着那"咒語"般的規則——總之把矩陣和向量那么乘一下，就算是轉了么。
不過最近，在學習“
切空間"時，竟偶然意識到，原來可以用在幾何學中經常用到的工具“坐標系圖”來直觀地分析這種變換。所以，我想就這個新的認識再在這里分享一下。
讓我們從一個實際的例子入手：下圖是一個
用兩維的笛卡爾坐標系表示的二維空間。
其中，黑色
坐標系
x-y 代表一個二維空間
；
藍色坐標系
i-j 代表另外一個二維空間。已知藍色坐標系軸在黑色坐標系下對應的值是i=(1,1), j=(-1,1)，又知橙色向量 p 處在 i-j 空間中，其坐標值為(2,1)。現在的問題是，這個 p 被轉換到黑色坐標系 x-y 空間下它的坐標值是什么？
解決這個問題一個最關鍵也最直接的想法是“向量分解與再合成”。p 可以被分解到
i 和
j 兩個方向，得到
p= 2
i+
j；同時
i 又可以分解到
x 和
y 兩個方向，得到
i =
x +
y，另外
j 也可以分解得到
j = -
x +
y。於是，我們全部展開，就得到
p(i-j) = 2
i +
j = 2(
x +
y) + (-
x +
y) =
x + 3
y =
p
(x-y) 。因此點
p 在
x-y 空間下的坐標值為
(1,3)。
這種方法可以用來討論更一般的情況。假設 p點在 i-j 坐標系下為 (k1,k2)，在 x-y 坐標系下為( q1,q2)。同樣地有基向量 i 對應在 x-y 空間中為 (m1,m2)； j 對應在 x-y 空間中為 (n1,n2)。於是我們有以下推導，
i = m1
x + m2
y，
j = n1
x + n2
y
於是，
p(i-j) = k1
i + k2
j
= k1(
m1x + m2y) + k2(
n1x + n2y)
= (k1m1 + k2n1)
x + (k1m2 + k2n2)
y
於是，
p(i-j) = (
k1m1 + k2n1, k1m2 + k2n2)
=
(q1, q2)
=
p
(x-y)
得到，
q1 = k1m1 + k2n1
q2 = k1m2 + k2n2
變換成矩陣形式，
其中
(k1,k2)是
i-j 空間下的坐標值，而
(q1,q2)是
x-y 空間下的坐標值。中間的矩陣就是用來做轉換的矩陣。從中我們可以發現，如果豎着來觀察，向量
(m1,m2)就是基向量
i 在
x-y 空間下的坐標值，而向量
(n1,n2)則是基向量
j 在
x-y 空間下的坐標值。這個矩陣，實際上就是由空間
i-j 下的基向量在空間
x-y 下的坐標值構成的。這一點，以前我就知道。但直到今天，我才理解了為什么是這樣。
因為知道了底細，所以一些長久以來伴隨的困惑也隨之消解。比如，對於一個變換表達式
M * v1，
v1究竟會被變換成什么樣子，或者說什么空間內呢？這要由矩陣
M決定：
M中的各基向量代表的是什么空間，這個
v1就會被轉換到什么空間。
這個結論可以很自然地擴推廣到三維或者高維空間中，因為“
向量分解與再合成”的規則在一般（歐幾里得）幾何學中是普遍適用的。
現在，麻麻再也不用擔心我的“空間轉換”能力啦。