KMP算法中next函數的理解

    首先要感謝http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7041827以及http://blog.chinaunix.net/uid-27164517-id-3280128.html兩篇博文的作者，參考這兩篇博文才對KMP算法有了初步認識，本文的一些內容也是來自於這兩篇之中。KMP算法與BF算法的優略、回溯不回溯這些問題本文不作說明，而主要說明next函數（通常保存為一個next數組）的意義。這正是KMP算法難於理解的地方。

　　為了方便起見，在不會起歧義的情況下做如下約定：下標都從0開始; 假設字符串為S，那么S_i 表示第i個字符或者只有第i個字符的字符串；S_iS_i+1S_i+2表示子串，如S₁S₂S₃，S₄S₅等等；pre(S,i)表示字符串S的位置i之前的字符串，即S₀S₁...S_i-1；next函數和next數組表示同一個意思。本文分為兩節，第一節講next函數的意義，得出需要滿足的兩個條件；第二節是具體代碼以及相關說明。

第一節  next函數的意義

    我們知道，KMP的基本匹配過程如下：在字符串T中查找模式P，需要記錄T中的當前位置i 以及P中的當前位置 j。當T_i=P_j的時候i和j都自增；當T_i!=P_j時，令j=next(j)，然后繼續匹配。這樣就跳過了一些字符，而這些字符，本質上來講與字符串P₀P_1...P_j-1的前綴和后綴能匹配的最大長度相關。以圖一作解釋，來倒推next(j)的意義：

圖 1

    在T中查找P，P₀P₁P₂P₃P₄=T₁T₂T₃T₄T₅，但P₅!=T₆（i=6,j=5）。此時令j=next(j)。假設next[5]=2, 則跳過三個字符，新的j=2，從這個位置開始比較。能跳過的條件是什么？其一，從虛線部分可知必須保證P₀P₁=P₃P₄；其二，P₅不能等於P2，因為之前我們知道了P₅!=T₆，如果P₅=P₂，那么P₂肯定不等於T_6。再次強調觀察虛線部分，發現P₀P₁和P₃P₄正好是字符P₅前面的字符串（即P₀P₁P₂P₃P_4）的前綴和后綴。

    圖1中，P₅！=T₆時跳過了三個字符，next[5]=2。再看圖2：next(5)分別等於4,3,1,0的情況。

圖 2

    仔細觀察圖2中的四種情況，均需要符合上面所說的條件。對於圖2的最后一幅圖，此種情況的條件是P₀P₁P₂P₃P₄沒有相等的前綴和后綴，且P₀!=P_5。那么如果后一個條件不滿足呢，那么顯然P應該再移一個位置，對應的情況如圖3：

圖 3

    圖3中，next(5)=-1。因此next=-1的情況：P_j=P₀，且P₀P_1...P_j-1沒有任何相等的前綴和后綴。另外，一般地，如果P₀就發生失配，那么顯然i也要加一，因此next(0)=-1。

    在此作一小結，k=next(j)需要滿足的兩個條件如下：

    條件1. k是P₀P_1...P_j-1最長匹配的前綴和后綴的長度.

    條件2. P_j!=P_k.

第二節  next函數的求法

    利用以上知識，我們就知道求next函數的思路了。基本思路是利用上面的第一個條件（尋找最長匹配的前后綴），而第二個條件（P_j!=P_next(j)）則作為優化。這樣一步步理解會對算法思路更清晰一點。

基本思路: 利用條件1

使用歸納法:假設next(j)=k，則P₀P₁...P_k-1=P_j-k...P_j-2P_j-1，那么next(j+1)有兩種情況:

1. 如果P_k=P_j，則P₀P₁...P_k=P_j-k...P_j-1P_j，所以next(j+1)=k+1=next(j)+1。

2. 如果P_k!=P_j，這是可以看做另外一個字符串匹配的問題，主串和模式串都是p，當匹配失敗時，k=next(k)。

因此得到如下算法：

void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)    
{    
    int i = 0;
    nextval[i] = -1;    
    int j = -1;    
    while( i < plen-1 )    
    {    
        if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )   //對應情況1
        {    
            ++i;    
            ++j;    
            next(i)=j;
        }    
        else                                  //對應情況2
            j = nextval[j];    
    }    
}  　

    上述算法中，ptrn是模式串，plen是模式串長度，nextval數組保存所有位置的next值。該算法不考慮條件2，因此有可能發生P_i=P_next(i)這種情況。在缺少該條件的情況下也可以用於做字符串匹配。假設next(i)=k，當匹配到i失效時，i=next(i)=k，這時候肯定也失效，因此又尋找k對應的next值，這樣算法得以進行。

優化：利用條件2

比較常見的算法對情況1做了優化，如下:

void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)    
{    
    int i = 0;
    nextval[i] = -1;    
    int j = -1;    
    while( i < plen-1 )    
    {    
        if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )   //對應情況1
        {    
            ++i;    
            ++j;    
            if( ptrn[i] != ptrn[j] )
                nextval[i] = j;
            else    
                nextval[i] = nextval[j];    
        }    
        else                                  //對應情況2
            j = nextval[j];    
    }    
}

　　該版本的算法考慮了條件2，因此進入情況1的時候，next(i)!=j。我們可以考慮一條查詢鏈，如圖4：

    圖4

    假設現在剛剛運行完13行，得出next[i]=j。此時必然有ptrn[i]!=ptrn[j]。因此下個循環的時候會跳轉到18行。該next鏈一直往前搜尋，直到某個位置k，ptrn[k]與ptrn[i]相等。該k就是最新的j值，這樣回到情況1，接着按照條件1優化。另外，當j==-1也應當進入情況1，因為不能往前搜尋了。

    以上就是next數組的求解過程，往后就可以利用next數組進行字符串查找了。在寫查找算法的過程中，可以發現與求next數組的算法過程驚人的一致。這也是KMP算法的一個特點，把兩者結合起來，更能夠理解它的奧妙所在。