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wang0606120221：http://blog.csdn.net/wang0606120221/article/details/7402688
假設KMP算法中的模式串為P，主串為S，那么該算法中的核心是計算出模式串的P的next函數。
KMP算法是在已知的模式串的next函數值的基礎上進行匹配的。
由於本次只討論next的求值過程，因此KMP算法的數學推理過程這里不再講解。
從KMP算法的數學推理可知，此next函數只取決與模式匹配串自身的特點和主串沒有任何關系，此函數
默認認為next[1]=0，由於next[j]=k表示的意義是當模式串和主串的第j個字符不匹配時，那么接下來和主串的第j個
字符匹配的字符是模式串的第k個字符。因此，next[1]=0表示當主串的當前字符和模式串的第1個字符不匹配，接
下來需要用模式串的第0個字符和主串的當前字符匹配，由於模式串下標是從1開始的，所以不可能存在第0個字符，
即接下的匹配動作是主串和模式串同時向右移動一位，繼續模式匹配。
例如：主串：a c a b a a b a a b n a c
模式串：a b a a b
主串：a c a b a a b a a b n a c
模式串： a b a a b
主串：a c a b a a b a a b n a c
模式串： a b a a b
此時，主串和模式串不匹配，而next[1]=0，因此，模式串的第0個字符和主串的第2個字符比較，而模式串沒有第0個
字符，此時可以把第0個字符理解為空字符，即模式串向右移動一位，主串再繼續喝模式串匹配，而此時的主串的當
前字符是第3個字符，整體來看是當主串和模式串的第1個字符不匹配時，主串和模式串同時右移一位，然后繼續匹配。
接下來講解一般情況下的next函數值求解過程。
設next[j]=k，根據KMP算法的模式串的特點可知，‘p1p2......pk-1’=‘pj-k+1......pj-1’，其中k必須滿足1<k<j，並且不可能存在k‘>k滿足上面等式。那么能夠根據next[j]=k計算出next[j+1]的值嗎？顯然是能夠計算出來的，不然我也不廢話了，呵呵。
下面討論具體求解過程：
當知道next[j]=k的值，求next[j+1]的值時候有兩種情況，一種是pk=pj，另一種情況是pk!=pj。
1.當pk=pj時，那么可以得出在模式串中存在‘p1......pk’=‘pj-k+1......pj’子串等式。並且不可能存在k‘>k，滿足
"p1......pk’ "=" pj-k’+1......pj "等式（該等式中用的是雙引號，只是為了區別外邊字符串的引號和內部k‘的引號，沒有其它意圖，特此說明），因為根據KMP算法的說明k是最大的。
因此，顯而易見next[j+1]=k+1=next[j]+1。該式表示當主串的當前字符和模式串的第j+1個字符不匹配時，需要使用模式串的第k+1個字符和當前主串字符比較匹配，即主串的當前字符不變，變的只是模式串的字符，可以理解為模式串向右移動j+1-（k+1）=j-k個字符。
2.當pk!=pj時，可知在模式串中不存在‘p1......pk’=‘pj-k+1......pj’等式。表明不能簡單的用模式串的第k+1個字符和主串比較，因為pk!=pj，此時需要把模式串向右移動更多的位數，直到找出模式串的前m個字符和主串中的m個字符匹配為止或者沒有找到這樣的子串，那么意味着模式串需要從第1個字符開始和主串從新匹配。
主串：a c a b a a c a b a a b a a b n a c
模式串： a b a a b
主串：a c a b a a c a b a a b a a b n a c
模式串： a b a a b
在此首先給出了next函數的數值，為了方便說明當pk!=pj時，使用pk=pj的方法是不對的。
next[1]=0，next[2]=1，next[3]=1，next[4]=2，next[5]=2.
此時，i=7，j=5，而s[7]!=t[5]，如果簡單按照pk=pj時候的方法，用第k+1=2+1=3個字符和主串的第7個字符比較時，顯然不行，因為s[6]=a!=b=t[2]。前面子串都不匹配，那么匹配后面的字符顯然是笑話。說明此時模式串需要向右移動更多的位數，知道找到合適的字符或者沒有找到，需要從第1個字符重新和主串匹配。
因為已經知道next[j]=k，因此可知模式串中p1=pj-k+1，p2=pj-k+2，......，pk-1=pj-1，則此時應該將模式串繼續向右移動直到第m+1個字符，該字符滿足’p1......pm‘=’pj-m+1......pj‘，（1<m<k<j）並且不存在m’>m也滿足該等式。此時就可以使用第m+1個字符和當前主串字符比較匹配，（假設當前主串的字符索引是i+1）
此時主串中必存在關系式‘si-m+1......si’=‘pj-m+1......pj’=‘p1......pm’，因此用模式串的第m+1個字符和當前主串字符比較匹配是正確的。此時next[j+1]=m+1=next[......next[next[k]]]+1。
這里m=next[......next[next[k]]]，這里解釋一下m=next[......next[next[k]]]，由於pk!=pj，因此需要向右移動模式串，
首先移動第next[k]個字符和第j個字符比較，假設next[k]=h，如果ph=pj，
則說明模式串中存在等式‘p1......ph’=‘p-h+1......pj’，（1<h<k<j）（假設主串中當前和模式串比較字符是第i+1個）則主串中必然存在‘si-h+1......si’=‘pj-h+1......pj’=‘p1......ph’等式（1<h<k<j）。也就是說next[j+1]=h+1。
即next[j+1]=next[k]+1。
同理，如果ph!=pj，則模式串還需要繼續向右移動，用第next[h]個字符和第j個字符比較，以此類推，直到第j個字符和模式串中的某個字符匹配成功或者不存在u（1<u<j）滿足等式‘p1......pu’=‘pj-u+1......pj’。如果找到了匹配字符u，那么
next[j+1]=u+1，否則next[j+1]=1。
下面舉例說明該過程：next函數值只與模式串自身的特點有關；
模式串的索引：j 1 2 3 4 5 6 7 8
模式串： a b a a b c a c
next值： 0 1 1 2 2 3 1 2
默認設置next[1]=0；
計算next[2]：因為p1......p2-1，不可能存在索引k，滿足1<k<2，因此next[2]=1；
計算next[3]：因為p3-1=b！=a=p1，next[2]=1，而next[1]=0，所以不存在u，滿足上述表達式，next[3]=1；
計算next[4]：next[3]=1，p4-1=a=p1，next[4]=next[3]+1=1+1=2；
計算next[5]：next[4]=2，p2=b，p5-1=a！=p2，pj=p4=a，next[2]=1，p1=a=pj，所以next[5]=next[2]+1=1+1=2；
計算next[6]：next[5]=2，p2=b，p6-1=b=p2，next[6]=next[5]+1=2+1=3；
計算next[7]：next[6]=3，p3=a，p7-1=c！=p3，pj=p6=c，next[3]=1，p1=a！=pj，next[1]=0，因此不存在u，所以，next[7]=1；
計算next[8]：next[7]=1，p1=a，p8-1=a=p1，next[8]=next[7]+1=1+1=2。
為什么當模式串第j個字符和主串不匹配時接着用第next[k]個字符直接和第j個字符比較，而不是用第j-1個字符和主串比較呢？
我的證明過程如下。
證明：因為前提條件是next[j]=k，那么可以得知’p1.......pk-1‘=’p-k+1......pj-1‘，並且k滿足1<k<j和不存在h，1<k<h<j，滿足上面等式，即‘p1......ph-1’=‘pj-h+1......pj-1’，即此時的k值是最大的。
假設此時主串索引為i+1，模式串為j+1，那么‘p1......pj-1’=‘p2......pj’等式是肯定不能成立的。因為如果該等式成立，那么就會存在等式‘p1......pj-2’=‘p2......pj-1’成立，而根據next[j]=k的前提條件，我們已經得出不存在h，1<k<h，滿足等式‘p1......ph-1’=‘pj-h+1......pj-1’，而此時卻奇怪得出了存在j-1滿足上面等式，和已知條件產生矛盾。
所以，next[k]和j之間的所有字符都是不能滿足算法尋找的字符滿足的等式的條件的。因此，如果pk!=pj，那么接下來必須用從0到next[k]之間的字符和第j個字符比較匹配，所以本算法首先采用從第next[j]個字符和第j個字符比較匹配。
如果我證明的不對，還請大牛們把正確答案告訴我一下，讓我也得到正確的證明過程。謝謝！
終上所述，next的函數表達式如下所示：
0，j=1；
next[j]= MAX{k | ‘p1......pk-1’=‘pj-k+1......pj-1’，1<k<j}，集合不為空；
1，其他情況。
假設next[j]=k。
next[j]+1=k+1，pj=pk；
next[j+1]=1，pk!=pj，不存在字符u，1<u<k，滿足等式‘p1......pu’=‘pj-u+1......pj’；
next[......next[next[k]]]+1，pk!=pj，找到了u，1<u<k，‘p1......pu’=‘pj-u+1......pj’。
本博客主要講的是如何按照地推的思想來計算出所有的next函數， 減少每次都掃描整個模式串計算next數值，通過遞歸算法可以利用前面已經計算出的next[j]的數值可以計算出next[j+1]，這樣可以提高不少效率。
KMP算法的求next數值函數代碼如下：其中綠色的行代表代碼，其它代表對每一行代碼的注釋。
void getNext(String p,int[] next)
{
//next初始化next[1]=0，由於需要計算最大k值，因此從第2個字符開始查找匹配子串，使得u滿足1<u<j
//’p1......pu-1‘=’pj-u+1......pj-1‘，本算法使用了兩個索引指針，i和j，並且初始化i=1，j=0。這里為了計算出next數 //值，主串和模式串都是使用的模式串數據。如
//主串： a b a a b c a c，i=1；
//模式串： a b a a b c a c，j=0.
int i=1; next[1]=0; j=0;
//線性掃描主串，主串不回朔，只能增加，而模式串可能會不斷的向右滑動，尋找字符u，使得pu=pj，求解 //next[j+1]。
while(i<=p.length)
{
//由於模式串不存在第0個，因此j==0代表主串和模式串肯定不匹配，此時，主串和模式串都必須增加1個索引，然 //后繼續匹配操作。此時j=0+1=1，next[i]=1和當主串和模式串的第0個字符比較得出的結果一致，即此時需要使用模式串的第1個字符和主串匹配比較。另外j==0條件還包含了一種情況是在模式串中找不到字符u，使得pu=pj，此時next[j]都等於1。
//p[i]=p[j]條件表示主串和模式串匹配，因此，主串和模式串都需要增加一個字符索引，假設此時主串索引為i和模式串索引為j，可以得出，’p1......pj‘=’pi-j+1......pi‘，由於i和j都要增加一個字符索引，此時主串為i=i+1，模式串為j=j+1，所以next[i]=j；
if(j==0||p[i]==p[j]) {++i;++j;next[i]=j;}
//當j!=0並且p[i]!=p[j]時，執行下面else代碼，該代碼表示此時模式串需要向右移動，即為了使下一次while循環比較時候使用第next[j]個字符和主串中的第i個字符匹配比較。
else j=next[j];
}
//當循環結束時候，next數組中存放的就是模式串的next初始化的全部數值。即當當前模式串中的字符和主串中的值不匹配時候，下一步需要使用哪一個字符和主串中的當前字符比較匹配。
}