【經典算法】——KMP，深入講解next數組的求解

前言　　

　　之前對kmp算法雖然了解它的原理，即求出P₀···P_i的最大相同前后綴長度k；但是問題在於如何求出這個最大前后綴長度呢？我覺得網上很多帖子都說的不是很清楚，總感覺沒有把那層紙戳破，后來翻看算法導論，32章 字符串匹配雖然講到了對前后綴計算的正確性，但是大量的推理證明不大好理解，沒有與程序結合起來講。今天我在這里講一講我的一些理解，希望大家多多指教，如果有不清楚的或錯誤的請給我留言。　

1.kmp算法的原理：

　　本部分內容轉自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/Knuth%E2%80%93Morris%E2%80%93Pratt_algorithm.html

　　

字符串匹配是計算機的基本任務之一。

舉例來說，有一個字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，我想知道，里面是否包含另一個字符串"ABCDABD"？

許多算法可以完成這個任務，Knuth-Morris-Pratt算法（簡稱KMP）是最常用的之一。它以三個發明者命名，起頭的那個K就是著名科學家Donald Knuth。

這種算法不太容易理解，網上有很多解釋，但讀起來都很費勁。直到讀到Jake Boxer的文章，我才真正理解這種算法。下面，我用自己的語言，試圖寫一篇比較好懂的KMP算法解釋。

1.

首先，字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一個字符與搜索詞"ABCDABD"的第一個字符，進行比較。因為B與A不匹配，所以搜索詞后移一位。

2.

因為B與A不匹配，搜索詞再往后移。

3.

就這樣，直到字符串有一個字符，與搜索詞的第一個字符相同為止。

4.

接着比較字符串和搜索詞的下一個字符，還是相同。

5.

直到字符串有一個字符，與搜索詞對應的字符不相同為止。

6.

這時，最自然的反應是，將搜索詞整個后移一位，再從頭逐個比較。這樣做雖然可行，但是效率很差，因為你要把"搜索位置"移到已經比較過的位置，重比一遍。

7.

一個基本事實是，當空格與D不匹配時，你其實知道前面六個字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是，設法利用這個已知信息，不要把"搜索位置"移回已經比較過的位置，繼續把它向后移，這樣就提高了效率。

8.

怎么做到這一點呢？可以針對搜索詞，算出一張《部分匹配表》（Partial Match Table）。這張表是如何產生的，后面再介紹，這里只要會用就可以了。

9.

已知空格與D不匹配時，前面六個字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最后一個匹配字符B對應的"部分匹配值"為2，因此按照下面的公式算出向后移動的位數：

　　移動位數 = 已匹配的字符數 - 對應的部分匹配值

因為 6 - 2 等於4，所以將搜索詞向后移動4位。

10.

因為空格與Ｃ不匹配，搜索詞還要繼續往后移。這時，已匹配的字符數為2（"AB"），對應的"部分匹配值"為0。所以，移動位數 = 2 - 0，結果為 2，於是將搜索詞向后移2位。

11.

因為空格與A不匹配，繼續后移一位。

12.

逐位比較，直到發現C與D不匹配。於是，移動位數 = 6 - 2，繼續將搜索詞向后移動4位。

13.

逐位比較，直到搜索詞的最后一位，發現完全匹配，於是搜索完成。如果還要繼續搜索（即找出全部匹配），移動位數 = 7 - 0，再將搜索詞向后移動7位，這里就不再重復了。

14.

下面介紹《部分匹配表》是如何產生的。

首先，要了解兩個概念："前綴"和"后綴"。 "前綴"指除了最后一個字符以外，一個字符串的全部頭部組合；"后綴"指除了第一個字符以外，一個字符串的全部尾部組合。

15.

"部分匹配值"就是"前綴"和"后綴"的最長的共有元素的長度。以"ABCDABD"為例，

　　－　"A"的前綴和后綴都為空集，共有元素的長度為0；

　　－　"AB"的前綴為[A]，后綴為[B]，共有元素的長度為0；

　　－　"ABC"的前綴為[A, AB]，后綴為[BC, C]，共有元素的長度0；

　　－　"ABCD"的前綴為[A, AB, ABC]，后綴為[BCD, CD, D]，共有元素的長度為0；

　　－　"ABCDA"的前綴為[A, AB, ABC, ABCD]，后綴為[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素為"A"，長度為1；

　　－　"ABCDAB"的前綴為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后綴為[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素為"AB"，長度為2；

　　－　"ABCDABD"的前綴為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后綴為[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的長度為0。

16.

"部分匹配"的實質是，有時候，字符串頭部和尾部會有重復。比如，"ABCDAB"之中有兩個"AB"，那么它的"部分匹配值"就是2（"AB"的長度）。搜索詞移動的時候，第一個"AB"向后移動4位（字符串長度-部分匹配值），就可以來到第二個"AB"的位置。

2.next數組的求解思路

　　通過上文完全可以對kmp算法的原理有個清晰的了解，那么下一步就是編程實現了，其中最重要的就是如何根據待匹配的模版字符串求出對應每一位的最大相同前后綴的長度。我先給出我的代碼：

void makeNext(const char P[],int next[])
{
    int q,k;//q:模版字符串下標；k:最大前后綴長度
    int m = strlen(P);//模版字符串長度
    next[0] = 0;//模版字符串的第一個字符的最大前后綴長度為0
    for (q = 1,k = 0; q < m; ++q)//for循環，從第二個字符開始，依次計算每一個字符對應的next值
    {
        while(k > 0 && P[q] != P[k])//遞歸的求出P[0]···P[q]的最大的相同的前后綴長度k
            k = next[k-1];          //不理解沒關系看下面的分析，這個while循環是整段代碼的精髓所在，確實不好理解  
        if (P[q] == P[k])//如果相等，那么最大相同前后綴長度加1
        {
            k++;
        }
        next[q] = k;
    }
} 

 　　現在我着重講解一下while循環所做的工作：

1. 　　已知前一步計算時最大相同的前后綴長度為k（k>0），即P[0]···P[k-1]；
2. 　　此時比較第k項P[k]與P[q],如圖1所示
3. 　　如果P[K]等於P[q]，那么很簡單跳出while循環;
4. 　　關鍵！關鍵有木有！關鍵如果不等呢？？？那么我們應該利用已經得到的next[0]···next[k-1]來求P[0]···P[k-1]這個子串中最大相同前后綴，可能有同學要問了——為什么要求P[0]···P[k-1]的最大相同前后綴呢？？？是啊！為什么呢？ 原因在於P[k]已經和P[q]失配了，而且P[q-k] ··· P[q-1]又與P[0] ···P[k-1]相同，看來P[0]···P[k-1]這么長的子串是用不了了，那么我要找個同樣也是P[0]打頭、P[k-1]結尾的子串即P[0]···P[j-1](j==next[k-1])，看看它的下一項P[j]是否能和P[q]匹配。如圖2所示

 

 

附代碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
void makeNext(const char P[],int next[])
{
    int q,k;
    int m = strlen(P);
    next[0] = 0;
    for (q = 1,k = 0; q < m; ++q)
    {
        while(k > 0 && P[q] != P[k])
            k = next[k-1];
        if (P[q] == P[k])
        {
            k++;
        }
        next[q] = k;
    }
}

int kmp(const char T[],const char P[],int next[])
{
    int n,m;
    int i,q;
    n = strlen(T);
    m = strlen(P);
    makeNext(P,next);
    for (i = 0,q = 0; i < n; ++i)
    {
        while(q > 0 && P[q] != T[i])
            q = next[q-1];
        if (P[q] == T[i])
        {
            q++;
        }
        if (q == m)
        {
            printf("Pattern occurs with shift:%d\n",(i-m+1));
        }
    }    
}

int main()
{
    int i;
    int next[20]={0};
    char T[] = "ababxbababcadfdsss";
    char P[] = "abcdabd";
    printf("%s\n",T);
    printf("%s\n",P );
    // makeNext(P,next);
    kmp(T,P,next);
    for (i = 0; i < strlen(P); ++i)
    {
        printf("%d ",next[i]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}

 

3.kmp的優化

待續。。。。