1，前言：
接下來將是數學系列，將主要講解一些初學者比較難以理解的內容，並假設讀者已經熟悉了基本的向量和矩陣運算以及其幾何意義。為了簡單化，某些數學概念不甚嚴謹，但不妨礙學習和理解。
在上一篇文章《學習OpenGL-ES: 3 - 3D繪圖原理》中，我們知道繪制3D圖形，首先需要描述物體：
a, 我們需要描述物體位置，也經常需要平移物體，平移是指物體的形狀和朝向都不變，只是位置改變。我們通過對物體的所有頂點進行相同的平移來完成這個過程，我們稱之為對物體（頂點）進行平移變換，這個變換在計算機圖形學中是通過用頂點坐標乘以一個4X4矩陣來完成的，頂點乘以矩陣，得到一個新的頂點，這個新的頂點就是原頂點平移后的結果，我們稱這個矩陣為平移變換矩陣。
b, 與此類似，我們通過用頂點坐標旋轉變換矩陣來旋轉物體，進行旋轉變換。
c，通過縮放變換矩陣來對物體進行縮放變換。
平移、旋轉、縮放是最常見的變換，我們將在隨后的幾篇文章中分別講解，先來看平移變換：
2，坐標系（標架）：
坐標系由原點和三個正交向量定義，三個正交向量稱為一般稱為坐標軸，相交於原點。由於位置總是相對的，所以坐標系A總是在某個坐標系B中進行描述：我們把最頂層的坐標系稱為世界坐標系，我們總是從這個坐標系出發去描述其它的坐標系。定義世界坐標系原點 [0,0,0], x軸[1,0,0]，y軸[0,1,0]，z軸[0,0,1]
3， 點和向量：
向量有大小和方向，但沒有位置，指定坐標系，向量總是可以由三個坐標軸的線性表示來構造，比如向量V [x, y, z] = x*[1,0,0] + y*[0,1,0] + z[0,0,1]; 對於向量來說，只需要三個坐標軸（基）就可以定義（向量空間），和原點無關。
點描述了3維空間中的位置，為了在向量空間中描述點（位置），引入了原點的概念，所有點都相對於原點進行描述（仿射空間）。
點和向量相加得到另一個點(想象一下點P沿着向量的方向移動向量的長度，其目的地就是新的點），兩點相減得到一個向量。在給定坐標系中的任意點P，都可以通過原點P0和從P0指向P的向量V定義：P = P0 + V；同樣 V = P - P0; 而每個向量又能由三個坐標軸的線性表示構造，所以每個點總能由原點 + 三個坐標軸的線性表示構造：
P = P0 + V = P0 + (ax + by + cz) = P0 + (a*[1,0,0] + b*[0,1,0] + c*[0,0,1]); 其中a\b\c為標量，x\y\z分別代表三個坐標軸向量，V代表從原點出發，指向P的向量。
另外，由於原點的坐標總是[0,0,0]，所以P = P0 + V = [0,0,0] + V[x,y,z] = [x,y,z]，注意：點和向量並不等同，此處只是在數值上相等，務必要分清。
4，多坐標系：
雖然點和向量的抽象定義和坐標系無關，無論有沒有坐標系，點和向量總是存在於空間中，但當我們描述（表示）以及計算它們的時候，必須先給定一個坐標系。同一個點在不同的坐標系中有不同的表示，同一個向量在不同的坐標系中也有不同的表示。而坐標系由一個點（原點P0)和三個向量(Vx，Vy，Vz)定義，將其視為四元組[P, V, V, V], 所以同一個坐標系，在不同的坐標系中也有不同的表示。
5，平移變換的兩種思考方式：
描述平移，需要描述平移的方向和距離，而向量具有方向和大小，所以我們可以用向量來描述一個平移，沿着向量V的方向移動向量長度的距離，我們稱之為沿着V平移。
a, 移動點：
這是最自然的想法，有一個點P，移動V，則移動后的新點為P + V(回想一下，點 + 向量 = 點）。
b，移動坐標系：
移動坐標系和移動點是可互換的對偶過程。把一個點P移動一段距離，等同於保持點不動，把坐標系反方向移動相同的距離，然后在這個新坐標系中描述P，也就是計算P在新坐標系中的坐標。
c，其它變換：
事實上，所有變換都可以表述為變換點和變換坐標系這兩種等價的方式。在某些時刻，用一種表述（思考）方式會比另一種更合適，無論用那種方式，我們總可以通過一個逆變換轉變到另外一種方式，后面將看到這點。
6，由平移產生一個新坐標系
世界坐標系，原點 [0,0,0], x軸[1,0,0]，y軸[0,1,0]，z軸[0,0,1]，我們把世界坐標系沿x的正方向移動1單位，也就是沿着向量[1,0,0]平移，可以得到一個新的坐標系，那么這個新坐標系在世界坐標系中的表示是什么呢？回想一下，一個坐標系由原點和三個坐標軸決定，因此移動坐標系，也就是移動原點和坐標軸，讓我們依次進行計算：
先計算原點: 原點沿向量[1,0,0]平移，所以新的原點為：[0,0,0] + [1,0,0] = [1,0,0];
再計算坐標軸：先考慮x軸，x軸為向量，向量沒有位置，只有方向和大小，而在平移中，x軸的方向和大小都沒有發生變化，所以x不變，同理y和z也不變。
所以，新坐標系在世界坐標系中的表示：原點 [1,0,0], x軸[1,0,0]，y軸[0,1,0]，z軸[0,0,1]
可以得出這樣一個結論：所有對坐標系的平移只影響原點，不影響坐標軸。
7，計算同一個點在平移后的新坐標系中的坐標
點P，在世界坐標系中坐標為[1,2,3]，在第5小節生成的新坐標系中，這個點的坐標是多少？
移動坐標系，等於逆向移動點，因此坐標系平移V[1,0,0]，等同於點平移-V = [-1,0,0]，所以，平移后的點為：P + (-V) = [1,2,3] + [1,0,0] = [0,2,3].
那么，假設在新坐標系中的一個點[1,2,3]，在世界坐標系中的坐標P2是多少呢？首先將新坐標系移回原位置（和世界坐標系重合），需要沿-V移動，所以對坐標系來說，平移-V，對點來說則平移-(-V) = V，則 P2 = [1,2,3] + V = [1,2,3] + [1,0,0] = [2,2,3].
8，用矩陣進行平移變換
如同之前所述，我們可以用向量來描述平移變換，對一個物體進行平移V，等價於對這個物體所有的點P進行這樣的運算: P + V
但是，我們往往需要對物體進行各種變換組合，比如：先平移V，再繞X軸旋轉100度，再均勻縮放10倍，再平移V。。。所以如果有一種統一的描述和計算方式來表示所有的變換，對於理解、計算、硬件設計都有很大的好處，計算機圖形學中使用4X4矩陣來表示所有的變換，因此矩陣是一種用來進行各種變換的數學工具。那么矩陣是怎樣進行變換的呢？
所謂變換，本質上可看做一個函數（映射），假設這個函數為T()，則對於一個頂點P，T(P)將輸出一個新的頂點P1，這個頂點就是經過T變換的結果，而T的實現，實際上是拿頂點乘以一個矩陣M，也就是P1 = P X M. 對每一種變換都有一個對應的函數T，也都有一個對應的矩陣M，所以一系列的變換可以描述為:P1 = P X M平移 X M旋轉 X M縮放 X M平移 = P平移 X M旋轉 X M縮放 X M平移 = P平移+旋轉 X M縮放 X M平移 = 。。。
而矩陣乘法滿足結合率，所以P X M平移 X M旋轉 X M縮放 X M平移 = P X (M平移 X M旋轉 X M縮放 X M平移) = P X M連乘矩陣
那么，用矩陣進行平移變換，關鍵就是構造一個矩陣M，令P X M = P + V。注：在OpenGL ES中，使用4X4齊次坐標矩陣，右手坐標系，列主序，向量右乘。關於左/右手坐標系，行/列主序，向量左/右乘，向量和矩陣元素在內存（數組）中的順序等，都是初學者容易迷惑的地方，后續將有一篇文章專門對此進行講解。本文為了書寫方便，使用行主序和向量左乘.
假設將點[1,2,3]沿向量[4,5,6]進行平移，我們可以得出平移結果為[1,2,3] + [4,5,6] = [5,7,9]，以下為對應的平移變換矩陣：
1,0,0,0
[1,2,3,1] X 0,1,0,0 = [5,7,9,1]
0,0,1,0
4,5,6,1
[1,2,3,1]稱之為點[1,2,3]的齊次坐標表示，其中第四個分量一般稱為w分量，對3D來說，齊次坐標只是一種數學技巧，用來將各種變換統一為一種矩陣表示（3X3矩陣無法表示仿射變換，平移變換屬於仿射變換），齊次坐標可參考之前文章中推薦的書籍（學習OpenGL-ES: 0 - 方法和資料），此處不再贅述。
觀察上述矩陣，發現第四行為[4,5,6,1]，恰為平移向量V的齊次坐標表示，因此沿向量V[X,Y,Z]平移的平移變換矩陣可構造如下;
1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
X,Y,Z,1
9，總結：
對3D世界中的物體進行平移，就是對其所有頂點P進行相同的平移，這個平移可以通過一個平移向量V[X,Y,Z]描述，也可以通過一個平移變換矩陣M描述，平移變換的結果P1 = P +V = P X M。M是如下形式的4X4矩陣：
1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
X,Y,Z,1