這一篇說下第二種特征數列，等比數列，同樣我們也應該知道它的”基本性質”，“擴充性質”和“判定方法”。
一：基本性質
1：通項公式： an=a1qn-1
2: 前n項和公式： Sn= a1(1-qn)/(1-q)
二： 判定方法
1: an+1/an=q (q是常數) => {an}是等比數列。
2：an=cqn => {an}是等比數列。
3: an+12=an*an+2 => {an}是等比數列。
三：擴充性質
1: an=am*qn-m;
2: 若m+n=p+q 則 aman=apaq;
3: 若{an}是等比數列，若每隔k項取出一項，那么取得的新數列仍是等比數列。
比如： k=3時 a1,a4,a7。
4： 若{an}是等比數列，則arar+1, ar+2ar+3, ar+4ar+5仍然成等比數列。
比如：r=1時 則數列 a1a2, a3a4, a5a6成等比數列。
5: 若{an}是等比數列，則ar+ar+1, ar+s+ar+s+1, ar+2s+ar+2s+1 仍成等比數列。
比如：r=1,s=10 則數列 a1+a2, a11+a12, a21+a22成等比數列。
6: 若{an}是等比數列，Sn是前n項和，則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k仍成等比數列，公比為qk。
四：幾種模型問題
1： 我們知道an/an-1=q(常數)時就認為{an}是等比數列，當q=bn時該如何處理，其實模型為an/an-1=bn。
證明： an/a1=(an/an-1)*(an-1/an-2)*(an-2/an-3)....*(a2/a1)
=> an/a1=bn*bn-1*bn-2......b1
=> an=a1*(b1b2b3...bn)
則： 
2: 當數列的遞推模型為an=b1an-1+b2an-2，可以看出我們現在要研究的是an, an-1, an-2之間的遞歸關系。
這種模型可以瞬間秒殺“斐波那契數列問題”。
求解過程如下：
①： 將an,an-1,an-2替換成x2,x,1
則得 x2=b1x+b2，該方程也就是{an}的二階特征方程，然后解出特征根x1,x2。
②： 
然后將a1,a2代入an后得到一組二元一次方程，求出c1，c2,最后得到an的通項公式。
五：幾個小實際應用
1： 斐波那契問題
具體細節就不說了，我們直接看它的遞歸公式，當a1=1,a2=1， an=an-1+an-2。
解答： 我們用特征方程
首先將an,an-1,an-2替換成x2,x,1，則得到{an} 的一個二階特征方程為:
x2=x+1 ①
由①得（求根公式）
x1=(1-√5)/2
x2=(1+√5)/2
因為x1!=x2，則
an=c1[(1-√5)/2]n+c2[(1+√5)/2]n ②
又因為a1=a2=1，則
c1[(1-√5)/2]+c2[(1+√5)/2]=1 ③
c1[(1-√5)/2]2+c2[(1+√5)/2]2=1 ④
求解方程得
c1=-(√5/5)
c2=(√5/5)
將c1，c2代入②式可得
an= (-(√5/5)[(1-√5)/2])n+(√5/5)*[(1+√5)/2]n
好了，我們知道通項公式了，想怎么秒殺就怎么秒殺了。