天籟數學——數列篇（2）

   

     這篇就扯一下等差數列，只要看到等差數列，就應該有條件反射的想起它的”基本性質”，“擴充性質”和“判定方法”，之后俺們就可以對

相應的題目進行秒殺。

一：基本性質

     1：通項公式：         a_n=a₁+(n-1)d;

     2:  前n項和公式：    S_n=n(a₁+a_n)/2;

                                 S_n=na₁+nd(n-1)/2;

二： 判定方法

    1:  a_n+1 -a_n=d(常數)          =>    {a_n}是等差數列。

    2：2a_n+1=a_n+a_n+2           =>    {a_n}是等差數列。

    3:  a_n=kn+b (k,b為常數)      =>    {a_n}是等差數列。 當然這個是將通項公式變形為一次函數，原型為: a_n=nd+(a₁+d)。

    4：S_n=An²+Bn(A,B為常數)  =>    {a_n}是等差數列。 原理同上，將前N項和公式變形為一元二次函數。

 

三：擴充性質

    1：  a_n=a_m+(n-m)d              => 這個公式得益於a_n和a_m的通向公式相減。 

                                                     比如：a₉=a₇+2d。

    2:  若m+n=l+r                    => a_m+a_n=a_l+a_r。      

                                                    比如：a₁+a₈=a₂+a₇。

   3： (n+1)a_n-na_n=d(常數)     =>  {na_n}是等差數列。

   4： 若a_n為等差數列，則數列{λa_n+b}(λ,b為常數)是公差為λd的等差數列。

                                                    比如：{3a_n+2} 的數列公差為3d。

   5:  若a_n，b_n都為等差數列，則{λ1a_n+λ2b_n}(λ1,λ2為常數)是公差為λ1d1+λ2d2的等差數列。

                                                    比如：{2a_n+3b_n}的數列公差為2d1+3d2。

   6： 若a_n為等差數列，則 a_k,a_k+m,a_k+2m也仍然為等差數列，公式為md。

   

四：幾種模型問題

   1： 我們知道a_n-a_n-1=d(常數)就認為是{a_n}是等差數列，當d=b_n這樣的一個變量的時候該如何處理，模型為a_n-a_n-1=b_n。

        證明:  由倒序相加法逆推可知，a_n-a₁=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+...+(a₂-a₁)

                                                        =b_n+b_n-1+...+b₂ 

                                       

            

        具體的例子有： 若a₁=1,a_n=a_n-1+4n,求a_n的問題。

   2：數列的一階特征方程【對a_n=pa_n-1+q(p!=+-1,q!=0)】的遞推公式的通用解法

        比如”猴子吃桃“問題的通項公式為：a_n=2a_n-1+2的通用解法如下：

        ①：通過模型對比，可知: p=2，q=2。

        ②:將a_n,a_n-1替換為x。求出{a_n}數列的特征根x。

            則    x=2x+2

            =>  x=-2

        ③：代入a_n的通用模型公式：     a_n-x=(a₁-x)p^n-1

                                         =>     a_n+2=(1+2)*2^n-1

                                         =>     a_n=3*2^n-1-2  （哈哈，是不是很神奇，對這種模型我們現在有了通用解法,秒殺秒殺）

五：幾個小實際應用

      有了這些神器，等差數列的問題相信我們有了比較扎實的基礎了,已經不怕不怕了。

1：甲乙兩個物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第1min走2m，以后每分鍾比前1min多走1m，乙每分鍾走5m。

    (1)  甲乙開始運動后幾分鍾相遇。 

    (2)  如果甲乙達到對方起點后立即折返，甲繼續每分鍾比前1min多走1m，乙繼續每分鍾走5m，那么開始運動幾分鍾后

          第二次相遇。

解答：

     <1>     其實第一小題如果看的出來是等差數列，那么這個問題基本就解決出來一半了。

                甲： 其實是a₁=2，d=1的等差數列，則甲在nmin內走了 2n+n(n-1)/2。

                乙： 在nmin內走了5n。

                =>  2n+n(n-1)/2+5n=70

                => n=7 or n=-20(舍去)

               最后我們知道在min=7的時候第一次相遇。

    <2>     將n=7代入甲可知a₇=8，則第二次相遇時以a₈=9為首項，記為b_n。

                則甲在這kmin內運動距離和為: 9k+k(k-1)/2。

                則乙在kmin內運動距離還是為5k。

                => 9k+k(k-1)/2+5k=70*2

                => k=8 or k=-35(舍)

當然這個問題我們也可以用code去實現，當然什么樣的知識程度決定了復雜度。

 

2：用分期付款的方式購買了家用電器一件，價格為1150元，購買當天先付150元，以后每月這一天都付50元，並加付欠款利息，

     月利息1%，利息不計入欠款，若交付150元以后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問全部付款完后，買這件家電實際

     花了多少錢？

解答：

    當然這套題仔細一分析還是一套等差數列的題目，付了150元后，余款的1000需要分期付款，每月50元，所以20次就可以付

清了，我們只要求S₂₀即可。

       a₁=50+1000 * 0.1=60

       a₂=50+(1000-50)=59.5

       ...

       a_n=50+(1000-(n-1)*50)

  則{a_n}是以a₁=60,d=-0.5為公差的等差數列。 

  則 S_總=S₂₀+150={20*[60+(60-19*0.5)]/2}+150=1255

  最后我們也就得出了全部付款后需要總額1255元。

 

關於等差數列的實際應用太多太多，平時練習的題目都是直接揭露本質，不被這些文字糖所包裹...