尋找丟失的數字（一）

這是一個有趣的面試題。

有一個袋子，里面放有1, 2, 3, ... , 100， 共100個整數，且每個數字只出現一次。現在由於袋子破了個洞，造成其中一個數字丟失了。請找出丟失的數字。

很容易想到的方法是：我們可以用減法，1 + 2 + ... + 100的和減去袋子中所有數的和，其差就是丟失的那個數字。1 + 2 + ... + 100

可以由等差數列公式100 * (1 + 100) / 2 = 5050算出，我們只需要遍歷一次袋子中的數字即可。

把這道題推廣到一般情況：設 π 是{1, 2, ... , n}的一個全排列，π-1 是 π 中丟失了一個數字后的序列。找出序列 π-1 中缺失的數字。

當 n 比較小時，我們仍可以用上面的方法，但是當 n 很大時，上面的方法就會有溢出的問題。雖然我們可以合理安排加減法的順序以避

免溢出，但實際上我們有更巧妙的方法來解決這類問題。

回憶異或(XOR)運算的性質：

a XOR a = 0           a XOR 0 = a

我們從1異或到100，然后再和袋子里的數逐個異或，因為一個數與自身異或，結果是0，所以異或最后的結果就是丟失的數字。

Python 代碼：

 
          def find_missing_1_number(sequence, n): 
          
     
          """ 
           returns the missing number of sequence, which is supposed to be
    a permutation of {1,..,n} with one number missing.
     
          """ 
          
    x = n 
          
     
          for i  
          in xrange(1, n): 
          
        x ^= i 
          
     
          for e  
          in sequence: 
          
        x ^= e 
          
     
          return x 
         

 

擴展問題一：如果其中兩個數字丟失了，怎么辦？

顯然，用上述方法不能同時求出兩個數。這是否意味着這種巧妙的方法不再適用了？讓我們先看一下，用上述方法求出的是什么。

設丟失的兩個數字為a和b，那么上述方法求出的結果就是 a XOR b。我們能否利用這個結果呢？答案是YES。因為a != b，那么

a 和 b 的二進制表示形式中一定至少有一位相異。我們可以根據該位把數字分成兩組，該位為0的一組和該位為1的一組。兩組分別

用上述方法異或，最后兩組異或的結果就是 a 和 b。

Python 代碼：

 
          def find_missing_2_numbers(sequence, n): 
          
     
          """ 
           returns the missing two numbers of sequence, which is supposed
    to be a permutation of {1,..,n} with two numbers missing.
     
          """ 
          
    x = n 
          
     
          for i  
          in xrange(1, n): 
          
        x ^= i 
          
     
          for e  
          in sequence: 
          
        x ^= e 
          
    diff = x & (-x)  
          # 
           isolates the rightmost 1-bit 
          
    a, b = 0, 0 
          
     
          for i  
          in xrange(1, n + 1): 
          
         
          if i & diff: 
          
            a ^= i 
          
         
          else: 
          
            b ^= i 
          
     
          for e  
          in sequence: 
          
         
          if e & diff: 
          
            a ^= e 
          
         
          else: 
          
            b ^= e 
          
     
          return a, b 
         

注意在上面的方法中，我們要掃描兩遍這個序列。雖然復雜度仍是O(n)，但是在某些特殊情況下，我們可能沒有第二次掃描的機會。

那么，能否只掃描一遍就算出結果呢？請看尋找丟失的數字（二）。