[數字技巧]子集問題（尋找給定集合的所有子集）

　　我們定義該問題如下：

　　給定一個集合C，找出所有的集合C'，使得C'包含於C。

一、無重復元素的集合

　　我們首先來考慮一種簡單的情形，C中的數都是各不相同的，這就意味着所產生的子集不會有重復的。

　　直觀來說，求一個集合的子集，無非就是對每個元素進行枚舉，枚舉兩種狀態”選“還是”不選“。例如，對一個集合C，當對cur這個位置的元素進行枚舉時，對剩余的元素可以遞歸調用這個枚舉的過程，當cur為數組長度n時，代表枚舉結束。

　　子集的解空間又叫子集樹，其葉子節點所代表的狀態即為所有的子集。例如，集合{1,3,5}，其子集樹如下所示：

　　如上圖所示，共有8個葉子節點，代表8個子集，有了子集樹，要求出所有的子集，顯然就是一個二叉樹的先序遍歷問題了，這里我們要設置一個與原數組一樣大的標志數組，來標志當前位置”選“還是”不選“，因此，這種方法又叫”位向量法“，代碼如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int n;
int A[20];
int B[20];

void print_subset(int n, int* B, int cur)
{
    if(cur == n)
    {
        for(int i = 0; i < cur; i++)
            if(B[i]) printf("%d ", A[i]);        // 打印當前集合
        printf("\n");
        return;
    }
    B[cur] = 1;                                // 選第 cur 個元素
    print_subset(n, B, cur+1);
    B[cur] = 0;                                // 不選第 cur 個元素
    print_subset(n, B, cur+1);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0; i<n; i++)
        scanf("%d",&A[i]);

    print_subset(n,B,0);
    system("Pause");
    
    return 0;    
}

　　另一種有趣的構造子集的方法叫”增量構造法“，顧名思義，這種做法是一種增量式的做法，例如，對集合{1,3,5}，首先確定第一個元素為1，這就是一個子集，然后再這個基礎上決定是不是增加3，或者5，形成另外兩個子集{1,3},{1,5}，{1,3}再可以決定是不是要繼續增加5，而{1,5}中5已經到了最后，因此不能再添加，同樣，可以確定第一個元素為2，重復上述步驟。注意，這里集合是定序的，以防止重復。下圖給出了使用”增量構造法“對{1,3,5}進行子集搜索的子集樹。

　　

　　下面我們給出使用”增量構造法“的子集生成代碼：

//增量構造法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int n;
int A[20];
int B[20];

void print_subset(int n, int* A, int cur);

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0; i<n; i++)
        scanf("%d",&A[i]);

    print_subset(n,B,0);
    system("Pause");
    
    return 0;    
}

void print_subset(int n, int* B, int cur)
{
    int i;
    for(i= 0; i < cur; i++)    printf("%d ",A[B[i]]);
    printf("\n");
    int s = cur ? B[cur-1]+1 : 0;//確定當前元素的最小可能位置 
    for(i = s; i < n; i++)
    {
        B[cur] = i;
        print_subset(n, B, cur+1);//遞歸構造子集 
    }
}

　　增量構造法可以很容易構造出指定大小的子集，只需要控制cur的大小指定輸出即可，比如要輸出長度不超過的3的子集，只要在程序一開始加上 if(cur>3) return; ，要輸出長度為3的，只需要在for循環外加一個if就行了。

練習題：

　　1、http://www.cnblogs.com/codershell/p/3619928.html

二、含有重復元素的集合

　　如果原數組中存在重復的元素，那么用上述方法在子集生成時就會產生重復的子集，這里我是采用最簡單的查重方法。代碼如下：

bool isExist(vector<vector<int> > &vv,vector<int> v){
        for(int i=0; i<vv.size(); i++)
            if(vv[i] == v)
                return true;
                
        return false;
}

　　不知道有沒有什么巧妙的方法來解決這個問題。

練習題：

　　http://www.cnblogs.com/codershell/p/3621687.html