評:證明時對求導要求較高，利用這個觀點，對平時熟悉的調和平均，幾何平均，算術平均，平方平均有了更深 刻的認識. ...

二位柯西不等式\((ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)\) 如圖，兩張圖片中顏色相同的三角形全等，且均為直角三角形，不妨設藍色三角形的直角邊邊長分別為a、b，黃色三角形的直角邊邊長分別為c、d。顯然，兩種圖片中中心白色的部分分別為平行四邊形和矩形，且兩圖形對應邊長分別 ...

若f(x)為區間I上的下凸（上凸）函數，則對於任意xi∈I和滿足∑λi=1的λi>0（i=1，2，...，n），成立： \[f(\sum ^{n} _{i=1} \lambda _{i}x_{ ...

均值不等式 條件：\(a_i\ge0\)。 平方平均數：\(Q_n=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{n}}\) 算數平均數：\(A_n=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}\) 幾何平均數：\(G_n=\sqrt[n]{a_1a_2 ...

（1）定義 設f是定義域為實數的函數，如果對所有的實數x，f(x)的二階導數都大於0，那么f是凸函數。 Jensen不等式定義如下： 如果f是凸函數，X是隨機變量，那么： 。當且僅當X是常量時，該式取等號。其中，E(X)表示X的數學期望。 注：Jensen不等式應用於凹函數時，不等號方向 ...

不等式 $1$： $$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$$ 從代數角度來證明： $$(a - b)^{2} \geq 0 \\\Rightarrow a^{2} -2ab + b^{2} \geq 0 \\\Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2ab ...

轉載自：碎片化學習之數學（一）：Jensen不等式 定義：對於一個凸函數\(f\)，都有函數值的期望大於等於期望的函數值：$$E[f(x)]\geq f(E[x])$$上式當中\(x\)是一個隨機變量，它可以是離散的或者連續的，假設\(x~p(x)\) 。 回顧一下凸函數的定義：對於任意的值 ...

若 $u$ 和 $v$ 是非負實數，$p$ 和 $q$ 是正實數且滿足 $p,q > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，則下列不等式成立： $$uv \leq \frac{1}{p}u^{p} + \frac{1}{q}v^{q}$$ 證明 ...