PS: 寫的時候博主比較naive，所有的變換都是向右結合的，還請諒解（ 0. 引子 (update 2020/12/21){#s-0} 直接上理論會有點難受，不妨先來點簡單的計數題找找感覺？ ...

reference： https://blog.csdn.net/xym_CSDN/article/details/53456447 https://blog.csdn.net/thchua ...

最近，研究了兩天的Burnside引理和Polya定理之間的聯系，百思不得其解，然后直到遇到下面的問題： 對顏色限制的染色 例：對正五邊形的三個頂點着紅色，對其余的兩個頂點着藍色，問有多少種非等價的着色？ 其中置換的方法有旋轉 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144 ...

Burnside引理與polay定理 引入概念 1.置換 簡單來說就是最元素進行重排列 是所有元素的異議映射，即\([1,n]\)映射到\([1,n]\) \[\begin{pmatrix} 1&2&i \ldots n \\ a_{1} & a_ ...

Polya定理 置換群中的概念（數學表達）： \(M=\frac{1}{G}\sum\limits_{i=1}^g m^c\) G:表示置換的個數，m表示顏色種類(方案中不一定使用全部顏色)，c表示每種置換的循環節個數 注釋：循環節個數解釋: \[\left[ \begin{array ...

　　Burnside和Polya定理都是高級計數的工具。對於一般計數問題，可以用排列組合來統計，但是對於更復雜的問題，比如對n個點用m種顏色染色，並且認為這n個點可以相互轉移，即第一個點的位置可以與第二個點互換等等，求最多有多少種不同的染色（兩種染色不同，當且僅當兩者在空間上存在相同位置的兩點顏色 ...

　　我想了想，發現可以證明burnside定理。 置換：n個元素1,2,…,n之間的一個置換表示1被1到n中的某個數a1取代，2被1到n中的某個數a2取代，直到n被1到n中的某個數an取代，且a1,a2,…,an互不相同。 置換群：置換群的元素是置換，運算是置換的連接 ...

polya定理是組合數學中比較難的一部分。首先需要對置換群、集合論有一定的了解，這樣有助於理解burnside引理的證明。其次，polya定理只 是對於在環上存在旋轉、反射等等價的變換的一種計數方法，實際的題目中很多需要其他的知識來進行輔助。 環上的計數主要就是處理置換 -> 着色這種情況 ...