Burnside引理與polay定理

---

引入概念

1.置換

簡單來說就是最元素進行重排列
是所有元素的異議映射，即\([1,n]\)映射到\([1,n]\)

\[\begin{pmatrix} 1&2&i \ldots n \\ a_{1} & a_{2}&a_{i} \ldots a_{n} \end{pmatrix} \]

比如,把正方體繞中心旋轉90度，可以看做四個頂點的一個置換
(1)置換可以構成換:對於元素連一條有向邊，連到置換中映射的元素，會構成n個環,(循環)
(2)如果一個狀態\(S\)經過置換后與原來相同，即$$S[1]=S[a_1],S[2]=S[a_2] \ldots S[n]=S[a_n]$$
那么稱這個狀態\(S\)為不動點
(3)本質不同的方案數一般指方案類的種數,等價關系通常是一個置換集合,如果一個置換能把其中一個方案映射到另一個方案那么他么是等價的。置換構成的置換群就是交換排列順序而已。
(4)多個置換構成置換群

2Brunside

對於一個置換群\(G\),\(G\)是目標集[1,n]上的置換群,若一個染色方案\(S\)經過置換后不變,稱\(S\)為G的不動點。將不動點的數目記為\(C(G)\)則等價類\(l\)的數目為\(C(G)\)的平均值

\[l=\dfrac {1}{\left| G\right| }[c_1(a_1)+c1(a_2)+ \ldots +c_1(a_g)] \]

證明

明的話,泥萌還是去看抽象數學吧QAQ
百度百科給了證明
證明1：\(g\in G\),記\(X_g(x)=1\)表示\(g(x)=x\)否則\(X_g(x)=0\)。考慮以下和式：

對於上式最右邊我們有：

所以：

例子

一個正方形分成4格,着上兩種顏色,有多少種方案?其中經過轉動相同圖像的算一種方案

根據計數原理,每個格子都有兩種顏色可選
所以，一共有16種圖像
對於圖中圖像的置換可分為以下四種
不動:

\[a_1=(1)(2)\ldots (16) \]

逆時針旋轉90度

\[a_2=(1)(2)(3\ 4\ 5 6)(7\ 8\ 9\ 10) (11\ 12)(13\ 14\ 15\ 16) \]

順時針旋轉90度

\[a_3=(1)(2)(6\ 5\ 4\ 3)(10\ 9\ 8\ 7)(11\ 12)(16\ 15\ 14\ 13) \]

旋轉180度

\[a_4=(1)(2)(3\ 5)(4\ 6)(7\ 9)(8\ 10)(11)(12) (13\ 15)(14\ 16) \]

那么有Burnside引理可知
第一種情況不動點種類為16(全)種
第二種情況不動點種類為$(1)\ (2)\(2種 第三種情況與第二種情況相同 第四種情況為\)(1)\ (2) \ (11)\ (12)$4種
那么有Burnside引理可知
等價類的種類為(16+2+2+4)/4=6種

例題:
POJ 2154

3Polya定理

利用Burnside引理要首先列出所有\(n^m\)種可能的染色方案
然后找出在每個置換下保持不變的方案數,顯然當m或n很大的時候,復雜度會炸,這時就需要用到polya定理。
Polya定理實際上是Burnside引理的具體化，提供了計算不動點的具體方法。
假設一個置換有\(\sigma_k\)個循環,就是輪換
易知每個循環對應的所有位置顏色需一致，而任意兩個循環之間選什么顏色互不影響。因此，如果有m種可選顏色，則該置換對應的不動點個數為\(m^{\sigma_k}\)。
用其替換Burnside引理中的\(C(G)\)，即\(C(G)=m^k\)。得到等價類數目為：

\[M=\dfrac {1}{\left| G\right| }\sum ^{|G|}_{k=1}m^{\sigma _{k}} \]

\(|G|\)表示置換的數目\(\sigma _k\)表示第k個置換包含的循環數目

例子

仍然是一個正方形分成4格,着上兩種顏色
那么對於一種定點而言
當
不動：\(a_1=(1)(2)(3)(4)\) //單個
旋轉90度 ：\(a_2=(1\ 2\ 3\ 4)\) //全塗
旋轉180度 ：\(a_3=(1\ 3)(2\ 4)\) //單排
旋轉270度：\(a_4=(1\ 4\ 3\ 2)\) //對角線
那么\(M=\dfrac {1}{4} * (2^4+2^1+2^2+2^1)=6\)

例題

POJ1286
完