[沖激信號]展縮特性的推導
沖激信號定義
沖激信號，被戲稱“看不見”的信號，在非零處的值小到看不着，而在零處的值卻大到看不着，但是它卻真實存在（具有一定的能量）。一種定義方式如下：
\[\begin{cases} A\delta(t-t_0) = 0\ , \ t \not = t_0\\ A \delta(t-t_0) \to +\infty \ ,\ t = t_0\\ \int_{-\infty}^{\infty} A\delta(t-t_0) dt = A \end{cases} \]
沖激信號，更像是一種“歸類”。由泛函數定義的沖激信號為
\[\int_{-\infty}^{\infty} A\delta(t-t_0)f(t) dt = Af(t_0) \]
沖激信號是能將任意連續信號 \(f(t)\) 映射為一個確定數值的一類信號，也就是說只要滿足上式的映射信號，就是一個沖激信號。
展縮特性
泛函數的定義方式有利於我們的數學推導。
設存在一個沖激信號的形式為 \(\delta(at+b)\)，其中 \(a \not = 0\)。我們分別討論 \(a\) 的正負的情況。
- 當 \(a > 0\) 時，寫出積分形式，並作變量替換 \(m=at+b\)， 則有
\[\begin{aligned}& \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(at+b)f(t) dt \\& = {\int_{-\infty}^{\infty}} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\&= \frac{1}{a} f(-\frac{b}{a})\end{aligned} \]
上式的結果與沖激信號 \(\frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a})\) 相同，即
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a})f(t) dt = \frac{1}{a}f(-\frac{b}{a}) \]
按照廣義函數相等的准則，認為這兩種信號的形式是等價的，即
\[\delta(at+b) = \frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a}), a > 0 \]
-
當 \(a < 0\) 時，與上一情況唯一的不同點在於變量替換后積分區間的變換（多了個負號）
\[\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(at+b)f(t) dt \\ & = \int_{+\infty}^{-\infty} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ & = -\int_{-\infty}^{\infty} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= -\frac{1}{a} f(-\frac{b}{a}) \end{aligned} \]
最終有
\[\delta(at+b) = -\frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a}), a < 0 \]
綜上，即有
\[\delta(at+b) = \frac{1}{|a|}\delta(t+\frac{b}{a}) \]
沖激偶信號的證明 也是類似的思路，首先是沖激偶信號泛函數定義為
\[\int_{-\infty}^{\infty} A\delta'(t-t_0)f(t) dt = -Af'(t_0) \]
設某一個沖激偶信號的形式為 \(\delta'(at+b)\)，其中 \(a \not = 0\)，則有：
-
當 \(a > 0\) 時，
\[\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(at+b)f(t) dt \\ & = {\int_{-\infty}^{\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= -\frac{1}{a} \left[ \frac{d f(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]_{m=0} \\ &= -\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} f'(\frac{-b}{a}) \end{aligned} \]與沖激偶信號 \(\frac{1}{a^2}\delta’(t+\frac{b}{a})\) 相同，即
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})f(t) dt = -\frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a}) \]根據廣義函數等價原則，兩者相等，即
\[\delta'(at+b) = \frac{1}{a^2} \delta'(t+\frac{b}{a})\ , \ a > 0 \] -
當 \(a < 0\) 時，同樣的流程（注意積分區間的變換）
\[\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(at+b)f(t) dt \\ & = {\int_{+\infty}^{-\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ & = -{\int_{-\infty}^{\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= \frac{1}{a} \left[ \frac{d f(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]_{m=0} \\ &= \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} f'(\frac{-b}{a})\\ \end{aligned} \]與沖激偶信號 \(-\frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})\) 相同，即
\[\int_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})f(t) dt = \frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a}) \]故兩者等價，即
\[\delta'(at+b) = -\frac{1}{a^2} \delta'(t+\frac{b}{a})\ , \ a < 0 \]
綜上，有
\[\delta'(at+b) = \frac{1}{a|a|}\delta'(t+\frac{b}{a}) \]