沖激串采樣

在一定條件下，一個連續時間信號完全可以用該信號在等時間間隔點上的值或樣本來表示，並且可以用這些樣本值把該信號全部恢復出來。

一般來講，在沒有任何附加條件或說明下，我們不能指望一個信號都能唯一地由一組等間隔的樣本值來表征。例如，下圖中三個不同的連續時間信號，在 \(T\) 的整數倍時刻點上，全部有相同的值，即

\[x_1(kT) = x_2 (kT) = x_3(kT) \]

很明顯，有無限多個信號都可以產生一組給定的樣本值。然而，將會看到，如果一個信號是帶限的（即它的傅里葉變換在某一有限頻帶范圍以外均為零），並且它的樣本取得足夠密的話（相對於信號中的最高頻率而言），那么這些樣本就能唯一地用來表征這一信號，並且能從這些樣本中把信號完全恢復出來。

為了建立采樣定理，我們需要一種方便的方式來表示一個連續時間信號在均勻間隔上的采樣。一種有用的辦法是通過用一個周期沖激串去乘待采樣的的連續時間信號 \(x(t)\)，這一方法稱為沖激串采樣，該周期沖激串 \(p(t)\) 稱作采樣函數，周期 \(T\) 稱為采樣周期，而 \(p(t)\) 的基波頻率 \(\omega_s = 2\pi / T\) 稱為采樣頻率。

在時域中有

\[\tag{1} x_p(t) = x(t)p(t) \]

其中

\[\tag{2} p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT) \]

是一個沖激串，其沖激的幅度等於 在以 為間隔處的樣本值，即

\[\tag{3} x_p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT)\delta(t-nT) \]

由傅里葉變換的相乘性質知道

\[\tag{4} X_p(j\omega) = \frac{1}{2\pi}[X(j\omega) * P(j\omega)] \]

並且有

\[\tag{5} P(j\omega) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - k\omega_s) \]

因為信號與一個單位沖激函數的卷積就是該信號的移位，於是有

\[\tag{6} X_p(j\omega) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(j(\omega-k\omega_s)) \]

這就是說，\(X_p(j\omega)\) 是頻率 \(\omega\) 的周期函數，它由一組移位的 \(X(j\omega)\) 疊加所組成，但在幅度上標以 \(1/T\) 的變化。

當 $ \omega_M < \omega_s- \omega_M $ 或者 $ \omega_s > 2\omega_M $ 時，互相移位的這些 \(X(j\omega)\) 之間，並無重疊現象出現；反之，則會出現重疊現象。

采樣定理

設 \(x(t)\) 是某一帶限信號，在 \(|\omega|>\omega_M\) 時，\(X(j\omega)=0\)。如果 \(\omega_s>2\omega_M\)，其中 \(\omega_s = 2\pi/T\)，那么\(x(t)\)就唯一地由其樣本\(x(nT), n = 0, \pm1, \pm2, \cdot \cdot\cdot\)所確定。

已知這些樣本值，我們能用如下辦法重建 \(x(t)\)：產生一個周期沖激串，其沖激幅度就是這些依次而來的樣本值，然后將該沖激串通過一個增益為 \(T\)，截至頻率大於 \(\omega_M\)，而小於\((\omega_s-\omega_M)\)的理想低通濾波器，該濾波器的輸出就是 \(x(t)\)。

在采樣定理中，采樣頻率必須大於 \(2\omega_M\)，該頻率一般稱為奈奎斯特頻率。

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