連續時間單位沖激信號δ(t)的基本性質

連續時間單位沖激信號 \(\delta(t)\) 的基本性質

1. 篩選特性：\(x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0)\)

2. 取樣特性：\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t-t_0) dt = x(x_0)\)

   注意積分區間是否包含沖激點。

3. 展縮特性：\(\delta(at+b)=\frac{1}{|a|}\delta(t+\frac{b}{a})\)

4. 積分特性：\(u(t) = \displaystyle\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau\)

5. 微分特性：\(\delta^\prime (t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\delta(t)\)

6. 卷積特性：\(x(t) * \delta(t) = x(t)\)，\(x(t) * \delta(t-t_0) = x(t-t_0)\)

7. 這是一個偶函數