走樓梯的三種算法(遞歸，備忘錄法，動態規划)

問題描述：
一共有十級台階，每一次只能上1級或2級，問一共有多少種上台階的方法。
解析：
這個問題可以從一階、兩階、三階來入手。一階顯然只有一種上法發，兩階則有兩種上法，三階則是一階和兩階上法的總和。
根據這樣的思路，我們很容易就可以得到公式：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
對於本問題10階，則只需要求出9階8階的上法和，要知道9階上法則需要知道8階和7階的上法和......直到1階和2階。
因此很容易就可以寫出一個遞歸的算法

int get(int n)
{//遞歸
	if(n<1) return 0;
	if(n==1) return 1;
	if(n==2) return 2;
	return get(n-1)+get(n-2);
}

通過上面的算法可以求到本題的答案：10階樓梯共有89種上法。但是這樣就結束了嗎？當然沒有。很顯然再遞歸的算法中，有很多的值是重復計算了的。所以我們就會想到，應該把重復的值記錄下來，這樣再遇到他們時就不需要再去計算，直接查找結果即可。然后就有了下面的算法，也叫備忘錄法。利用map存儲重復計算的值。

int get_2(int n,map<int,int> m)
{//備忘錄
	if(n<1) return 0;
	if(n==1) return 1;
	if(n==2) return 2;
	int value;
	map<int,int>::iterator iter;
	iter = m.find(n);
	if(iter!=m.end()){//看是否為重復計算值，如果是則直接查找賦值，反之則將計算后的值保存
		value = m[n];
	}else{
		value = get_2(n-1,m) + get_2(n-2,m);
		m[n] = value;
	}
	return value;
}

最后一種算法則是動態規划的方法。
由之前的分析，我們知道其實得到最終結果f(n)最主要的是f(n-1)和f(n-2)這兩個值。那么我們在計算過程中只保存這兩個值的計算結果即可。代碼如下

int get_3(int n)
{
 	if(n<1) return 0;
 	if(n==1) return 1;
 	if(n==2) return 2;
 	int a = 1;int b = 2;int temp;
 	for(int i = 3;i<=n;i++)
	{
		temp = a+b;//保存計算結果
		a = b;
		b = temp;
	} 
	return temp;
}