走楼梯的三种算法(递归，备忘录法，动态规划)

问题描述：
一共有十级台阶，每一次只能上1级或2级，问一共有多少种上台阶的方法。
解析：
这个问题可以从一阶、两阶、三阶来入手。一阶显然只有一种上法发，两阶则有两种上法，三阶则是一阶和两阶上法的总和。
根据这样的思路，我们很容易就可以得到公式：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
对于本问题10阶，则只需要求出9阶8阶的上法和，要知道9阶上法则需要知道8阶和7阶的上法和......直到1阶和2阶。
因此很容易就可以写出一个递归的算法

int get(int n)
{//递归
	if(n<1) return 0;
	if(n==1) return 1;
	if(n==2) return 2;
	return get(n-1)+get(n-2);
}

通过上面的算法可以求到本题的答案：10阶楼梯共有89种上法。但是这样就结束了吗？当然没有。很显然再递归的算法中，有很多的值是重复计算了的。所以我们就会想到，应该把重复的值记录下来，这样再遇到他们时就不需要再去计算，直接查找结果即可。然后就有了下面的算法，也叫备忘录法。利用map存储重复计算的值。

int get_2(int n,map<int,int> m)
{//备忘录
	if(n<1) return 0;
	if(n==1) return 1;
	if(n==2) return 2;
	int value;
	map<int,int>::iterator iter;
	iter = m.find(n);
	if(iter!=m.end()){//看是否为重复计算值，如果是则直接查找赋值，反之则将计算后的值保存
		value = m[n];
	}else{
		value = get_2(n-1,m) + get_2(n-2,m);
		m[n] = value;
	}
	return value;
}

最后一种算法则是动态规划的方法。
由之前的分析，我们知道其实得到最终结果f(n)最主要的是f(n-1)和f(n-2)这两个值。那么我们在计算过程中只保存这两个值的计算结果即可。代码如下

int get_3(int n)
{
 	if(n<1) return 0;
 	if(n==1) return 1;
 	if(n==2) return 2;
 	int a = 1;int b = 2;int temp;
 	for(int i = 3;i<=n;i++)
	{
		temp = a+b;//保存计算结果
		a = b;
		b = temp;
	} 
	return temp;
}