排列與排列數、組合與組合數
排列與排列數
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從\(n\)個不同元素中，任取\(m(m \le n)\)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的一種排列。
- 注意：排列的元素完全相同，順序也完全相同
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公式：\(P^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}\)
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如何理解這個公式：
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例1：三名同學，成績前兩名有多少種可能性？
- 第一名：3種可能性
- 第二名：(3-1)種可能性
- 根據乘法原理，共有\(3*(3-1)\)種可能性
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例2：七名同學，成績前五名有多少種可能性？
- 由例一，易知有\(7*(7-1)*(7-2)*...*(7-5+1)\)
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由例1例2進行進一步推導，用\(m,n\)代替具體的數字，可得
- \(n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-m+1)\)
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整理可得，
\(n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-m+1)=\frac{1*2*3*...(n-2)(n-1)n}{1*2*3*...(n-m-1)(n-m)}\)
（即乘上\(\frac{1*2*3*...(n-m-1)(n-m)}{1*2*3*...(n-m-1)(n-m)}\)，目的是得到完整的、從1開始的可以化為階乘形式的數）
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繼續整理，得到\(P^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}\)
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但是通過第3步得到的式子，其實是不需要階乘的
從大的數字開始往小乘，乘小的數字那么多個
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組合與組合數
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從\(n\)個不同元素中，任取\(m(m \le n)\)個元素並成一組，叫做從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的一個組合。
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記號：\(C(n,k)\)或\(\binom{n}{k}\)
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公式：\(\binom{n}{k}=\frac{P(n,k)}{P(k,k)}\)
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推導公式：\(\binom{n}{k}=\frac{\frac{k!}{(k-n)!}}{\frac{n!}{(n-n)!}}=\frac{k!}{n!(k-n)!}\)
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用更常用的\(m,n\)來表示組合數公式，就得到了\(\binom{m}{n}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
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理解公式:
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觀察可知，其實組合數就是在排列數公式上除以一個\(m!\)（\(P(k,k)\)其實就等於\(k!\)）
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思考一下：組合數與排列數的區別是組合數不要求順序相同，所以如果按照排列數去求組合數，會出現一定數目的重復
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打表找規律（）：
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四選三（即m=3，n=4）:
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排列數：共\(P^3_4=\frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4*3*2*1}{1}=24\)種
ABC,ABD,ACB,ACD,ADB,ADC,
BAC,BAD,BCA,BCD,BDA,BDC,
CAB,CAD,CBA,CBD,CDA,CDB,
DAB,DAC,DBA,DBC,DCA,DCB; -
觀察，剔除重復項
ABC,ABD,ACD,BCD \(4\)種
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找規律：保留了\(\frac{24}{6}\)種，即保留了\(\frac{4*3*2*1}{3*2*1}\)種，即\(C^m_n=\frac{P(m,n)}{m!}\)
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嗯現在就假裝推完了吧（）
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從大的數字開始往小乘，乘“小的數字那么多”個，再除以“小的數字開始往小乘，乘小的數字那么多個”
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拓展公式
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\(C^m_n=C^{n-m}_n\)
其實就是反選，從五個里面取出四個的組合數就相當於從五個里面取一個（取哪四個等同於不取哪一個）
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\(C^{m-1}_n+C^m_n=C^m_{n+1}\)
這個似乎在\(m\)和\(n\)比較大的時候可以有效避免爆空間
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\(C^0_n+C^1_n+......+C^n_n=2^n\)
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\(C^r_r+C^r_{r+1}+......+C^r_n=C^{r+1}_{n+1}\)
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\(\displaystyle\sum_{i=0}^kC^i_nC^{k-i}_{m}=C^k_{m+n}\)
這三個公式還沒悟等悟了在補充
代碼實現
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定義式
int C(int m,int n){ //這里用longlong是因為第6行乘完之后極有可能暫時超過了int能表示的范圍 long long result = 1; for(int i = 0;i<n;i++){ result *= (m-i); } for(int i = 2;i<=n;i++){ result /= i; } return (int)result; }非常容易想到
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遞歸版組合數求法
int C(int m,int n){ if(m == n) return 1; if(n == 1) return m; return C(m-1,n)+C(m-1,n-1); }根據拓展公式（2）寫的，優點是非常好寫（手和腦子只能懶一個），缺點是慢......
這張圖是以C(7,3)為例畫的圖(不得不說!這網站!實在是太強了)
一眼就能看見相當多的重復運算
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遞推版組合數求法
int C(int m,int n){ int c[n+1][m+1]; for(int i = 1;i<=m;i++){ c[1][i] = i; } for(int i = 2;i<=n;i++){ c[i][i] = 1; } for(int i = 2;i<n;i++){ for(int j = i+1;j<m;j++){ c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i][j-1]; } } for(int i = n+1;i<=m;i++){ c[n][i] = c[n-1][i-1] + c[n][i-1]; } return c[n][m]; }既然\(C(m,n)\)與\(m,n\)都有關系，那么不妨開一個n行m列的二維數組（m行n列也行，自己調整一下）
看上圖的所有的葉子節點，都是\(m=n\)或者\(n=1\)
\(m=n\)時\(C(m,n)=1\)
\(n=1\)時\(C(m,n)=m\)
因此，代碼的第3~8行開出了如下表的一個二維數組
1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 1 3 1 接着，根據拓展公式二，我們可以知道這個二維數組的每一項等於其左側值和左上值的和
並且第m列（即上表中的第7列）除了最后一行都沒有必要填上（填上也行）
所以代碼的第9~13行將二維數組填充到了如下表所示的程度
1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 1 3 6 10 15 3 1 然后第14~17行填完了最后一行
最后返回值即可
這是以C(36,24)為例的耗時（再大遞推還是秒出，但遞歸我可能真的等不了了）
