含參量積分基礎知識(1) 正常積分部分

試試回答下述問題？
1.什么是含參量積分？
2.什么時候求極限和積分的順序可以交換？為什么呢？
3.什么時候求導與積分的順序可以交換？為什么呢？
4.什么時候關於x的積分和關於y的積分可以交換？為什么呢？

1.什么是含參量積分？\([1]\)

• 對於一個定積分\(I=\int_c^d y dy\)，往其中加入一個參數\(a\)，變成\(I(a)=\int_c^d ay dy\)， 其中\(a\in[a_1,a_2]\)。這使得每確定一個參數\(a\)，就會有一個\(I(a)\)而隨之確定，就稱其為定義在\([a_1, a_2]\)上的含參量\(a\)的正常積分（簡稱含參量積分）
• 把上面的參數\(a\)換成\(x\)，把\(I\)換成\(I(a)\)，就得到比較常用的表示方式$$\varphi(x)=\int_c^d f(x,y), x\in [a_1,a_2]$$
• 更一般的，除了被積函數可以加上參數之外，積分區域也可以加上參數，就像\(\int_a^{2a} ax dx\)一樣，仍然可以實現每確定一個參數，就有一個積分值隨之確定（類似於由參數確定的函數）。這種積分上下限也帶有參數的一般形式為$$\varphi(x)=\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy, x\in[a_1,a_2]$$

2.連續性（極限和積分順序可交換）

2.1 什么條件下成立\(\lim\limits_{x\to x_0} \int_{c}^{d}f(x,y) dy=\int_{c}^{d} \lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)dy\)？

當\(f\)連續時

2.1.1 簡述理由

問題的本質是：如何證明一個極限等於一個值？

答：使用極限定義，通過減法將問題轉化為\(f\)的一致連續問題

2.2 什么條件下成立\(\lim\limits_{x\to x_0} \int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y) dy=\int_{c(x_0)}^{d(x_0)} \lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)dy\)

當\(f(x)\)和\(c(x),d(x)\)都連續時

2.2.1 簡述理由

問題轉化為：如何將上下限的函數，轉化為常數的形式？這樣就可以用2.1的結論了

答：用換元\(y=c(x)+t(d(x)-c(x))\)換掉將積分的上下限變為從 0 到 1（即第一種情況）自然得證。

3.可微性（'求導'與'積分'順序可交換）

3.1 什么條件下成立\(\frac{d}{dx} \int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^{d}\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)dy\)?

答：當\(f\)和\(f_x\)都連續時

3.1.1 簡述理由

（問題轉化）LHS中導數定義是什么？
答：導數的定義是極限\(\frac{\text{d}}{\text{d} x}\int_c^df(x,y)dy = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\int_c^df(x+\Delta x,y)dy-\int_c^df(x,y)dy}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\int_c^d \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}dy\)

（問題轉化）從極限的角度，如何證明\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\int_c^d \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}dy=\int_{c}^{d}\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)dy\)
答：只需\(\lim\limits_{\Delta x\to 0} \left| \int_c^d \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}dy-\int_{c}^{d} f_x(x,y)dy \right|=0\)即可
// 后面自己證吧，注意使用拉氏中值定理

3.2 什么條件下成立\(\frac{d}{dx} \int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y) dy=\int_{c(x)}^{d(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) dy+f(x,d(x))d'(x)-f(x,c(x))c'(x)\)

當\(f\)和\(f_x\)都連續，且\(c(x),d(x)\)都可微時

3.2.1 簡述理由

（問題轉化）其中有多個關於\(x\)的函數，如何對其求導？
答：視為復合函數\(H(x,c(x),d(x))=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y) dy\)，再利用復合函數求導法求導
即：\(\frac{d}{dx}H(x,c,d)=\frac{dH}{dx}+\frac{dH}{dc(x)}\frac{ dc(x)}{dx} +\frac{\text{d}H}{\text{d}d(x)}\frac{\text{d} d(x)}{\text{d}x}\)

3.2.2 注：這個公式很重要，是被積函數和上下限積分都有參數\(x\)的求導公式

4.可積性（關於\(x\)的積分與\(y\)的積分交換）

4.1 什么條件下成立“二次積分可交換”，即\(\int_{a}^{b}[\int_c^d f(x,y)dy]dx=\int_c^d[\int_{a}^{b} f(x,y)dx]dy\)

答：當f連續的時候

4.1.1 簡述理由

（1）如果左右兩邊的導數相等，那么原式積分左右最多相差一個常數k。（問題1）左右兩邊導數是否相等？
（2）如果能夠證明這個常數k為零，就能夠證明原式的兩個積分相等。（問題2）如何證明這兩個積分的相差的常數k=0？

答(1.1)：既然要求導，關於哪個變量求導呢？

• 將x的上限變量化才能夠求導：\(\varphi_1(u)=\int_a^u[\int_c^df(x,y)dy]dx\)，\(\varphi_2(u)=\int_c^d[\int_a^uf(x,y)dx]dy\)
  如果\(\varphi_1(u)=\varphi_2(u)\)，則原式為\(\varphi_1(b)=\varphi_2(b)\)是顯然成立的。問題轉化為如何證明\(\varphi_1(u)=\varphi_2(u)\)

答(1.2)：怎么證明證明他們的導數相等呢？

• 於是求導：\(\varphi_1'(u)=\int_c^df(u,y)dy\)。 # 使用了變上限積分求導公式
  \(\varphi_2'(u)=\int_c^d[\frac{d}{du}\int_a^uf(x,y)dx]dy=\int_c^df(u,y)dy\)。# 這是由於\(\int_a^uf(x,y)dx\)連續(1)，且\(f(x,y)\)連續(2)，所以由可微性可知“求導和積分的順序可以交換”。至於(1)和(2)為什么成立，答案就在本文之中哦。
• 由此可見導數確實相等，從而原函數只相差一個常數，即\(\varphi_1(u)-\varphi_2(u)=k\)

答(2.1)：要證明\(k=0\)，只需取\(u=a\)，此時\(\varphi_1(a)-\varphi_2(a)=0=k\)。# 證畢

4.1.2 能否考慮什么情況下，\(\int_{a(x)}^{b(x)}[\int_c^d f(x,y)dy]dx=\int_c^d[\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y)dx]dy\)

答：不行，形如\(\int_x^{2x}3x dx\)是無法積分的

寫完啦，回到開頭試試看吧

參考：華東師范數學分析第十九章含參量積分