含参量积分基础知识(1) 正常积分部分

试试回答下述问题？
1.什么是含参量积分？
2.什么时候求极限和积分的顺序可以交换？为什么呢？
3.什么时候求导与积分的顺序可以交换？为什么呢？
4.什么时候关于x的积分和关于y的积分可以交换？为什么呢？

1.什么是含参量积分？\([1]\)

• 对于一个定积分\(I=\int_c^d y dy\)，往其中加入一个参数\(a\)，变成\(I(a)=\int_c^d ay dy\)， 其中\(a\in[a_1,a_2]\)。这使得每确定一个参数\(a\)，就会有一个\(I(a)\)而随之确定，就称其为定义在\([a_1, a_2]\)上的含参量\(a\)的正常积分（简称含参量积分）
• 把上面的参数\(a\)换成\(x\)，把\(I\)换成\(I(a)\)，就得到比较常用的表示方式$$\varphi(x)=\int_c^d f(x,y), x\in [a_1,a_2]$$
• 更一般的，除了被积函数可以加上参数之外，积分区域也可以加上参数，就像\(\int_a^{2a} ax dx\)一样，仍然可以实现每确定一个参数，就有一个积分值随之确定（类似于由参数确定的函数）。这种积分上下限也带有参数的一般形式为$$\varphi(x)=\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy, x\in[a_1,a_2]$$

2.连续性（极限和积分顺序可交换）

2.1 什么条件下成立\(\lim\limits_{x\to x_0} \int_{c}^{d}f(x,y) dy=\int_{c}^{d} \lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)dy\)？

当\(f\)连续时

2.1.1 简述理由

问题的本质是：如何证明一个极限等于一个值？

答：使用极限定义，通过减法将问题转化为\(f\)的一致连续问题

2.2 什么条件下成立\(\lim\limits_{x\to x_0} \int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y) dy=\int_{c(x_0)}^{d(x_0)} \lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)dy\)

当\(f(x)\)和\(c(x),d(x)\)都连续时

2.2.1 简述理由

问题转化为：如何将上下限的函数，转化为常数的形式？这样就可以用2.1的结论了

答：用换元\(y=c(x)+t(d(x)-c(x))\)换掉将积分的上下限变为从 0 到 1（即第一种情况）自然得证。

3.可微性（'求导'与'积分'顺序可交换）

3.1 什么条件下成立\(\frac{d}{dx} \int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^{d}\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)dy\)?

答：当\(f\)和\(f_x\)都连续时

3.1.1 简述理由

（问题转化）LHS中导数定义是什么？
答：导数的定义是极限\(\frac{\text{d}}{\text{d} x}\int_c^df(x,y)dy = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\int_c^df(x+\Delta x,y)dy-\int_c^df(x,y)dy}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\int_c^d \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}dy\)

（问题转化）从极限的角度，如何证明\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\int_c^d \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}dy=\int_{c}^{d}\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)dy\)
答：只需\(\lim\limits_{\Delta x\to 0} \left| \int_c^d \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}dy-\int_{c}^{d} f_x(x,y)dy \right|=0\)即可
// 后面自己证吧，注意使用拉氏中值定理

3.2 什么条件下成立\(\frac{d}{dx} \int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y) dy=\int_{c(x)}^{d(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,y) dy+f(x,d(x))d'(x)-f(x,c(x))c'(x)\)

当\(f\)和\(f_x\)都连续，且\(c(x),d(x)\)都可微时

3.2.1 简述理由

（问题转化）其中有多个关于\(x\)的函数，如何对其求导？
答：视为复合函数\(H(x,c(x),d(x))=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y) dy\)，再利用复合函数求导法求导
即：\(\frac{d}{dx}H(x,c,d)=\frac{dH}{dx}+\frac{dH}{dc(x)}\frac{ dc(x)}{dx} +\frac{\text{d}H}{\text{d}d(x)}\frac{\text{d} d(x)}{\text{d}x}\)

3.2.2 注：这个公式很重要，是被积函数和上下限积分都有参数\(x\)的求导公式

4.可积性（关于\(x\)的积分与\(y\)的积分交换）

4.1 什么条件下成立“二次积分可交换”，即\(\int_{a}^{b}[\int_c^d f(x,y)dy]dx=\int_c^d[\int_{a}^{b} f(x,y)dx]dy\)

答：当f连续的时候

4.1.1 简述理由

（1）如果左右两边的导数相等，那么原式积分左右最多相差一个常数k。（问题1）左右两边导数是否相等？
（2）如果能够证明这个常数k为零，就能够证明原式的两个积分相等。（问题2）如何证明这两个积分的相差的常数k=0？

答(1.1)：既然要求导，关于哪个变量求导呢？

• 将x的上限变量化才能够求导：\(\varphi_1(u)=\int_a^u[\int_c^df(x,y)dy]dx\)，\(\varphi_2(u)=\int_c^d[\int_a^uf(x,y)dx]dy\)
  如果\(\varphi_1(u)=\varphi_2(u)\)，则原式为\(\varphi_1(b)=\varphi_2(b)\)是显然成立的。问题转化为如何证明\(\varphi_1(u)=\varphi_2(u)\)

答(1.2)：怎么证明证明他们的导数相等呢？

• 于是求导：\(\varphi_1'(u)=\int_c^df(u,y)dy\)。 # 使用了变上限积分求导公式
  \(\varphi_2'(u)=\int_c^d[\frac{d}{du}\int_a^uf(x,y)dx]dy=\int_c^df(u,y)dy\)。# 这是由于\(\int_a^uf(x,y)dx\)连续(1)，且\(f(x,y)\)连续(2)，所以由可微性可知“求导和积分的顺序可以交换”。至于(1)和(2)为什么成立，答案就在本文之中哦。
• 由此可见导数确实相等，从而原函数只相差一个常数，即\(\varphi_1(u)-\varphi_2(u)=k\)

答(2.1)：要证明\(k=0\)，只需取\(u=a\)，此时\(\varphi_1(a)-\varphi_2(a)=0=k\)。# 证毕

4.1.2 能否考虑什么情况下，\(\int_{a(x)}^{b(x)}[\int_c^d f(x,y)dy]dx=\int_c^d[\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y)dx]dy\)

答：不行，形如\(\int_x^{2x}3x dx\)是无法积分的

写完啦，回到开头试试看吧

参考：华东师范数学分析第十九章含参量积分