前言
光學的規則是復雜且令人討厭的。
這句話來源於一場互聯網上關於 “如何閱讀 MTF 曲線” 的討論。這個句子很好地，並坦誠地告訴了我們：對於攝影師來說，理解這個充滿數字的世界是如何的困難。
不過，我將在接下來的內容里向您展示，其實事情並沒有這么糟糕。您並不需要學習傅立葉光學中的高等數學即可理解其中的基本關系。
讀完這篇文章后，您將能夠通過閱讀一個鏡頭制造商或者測試機構所提供的 MTF 數據來總結一枚鏡頭的特性。但與此同時，您也將了解到 MTF 的局限性，以便您批判性地閱讀鏡頭的評測。
對於一些認為攝影主要是基於經驗的人來說，看完這篇文章可能會更加確信：如此繁多的數字和曲線並非優秀的攝影所需的。但更好地了解您的工具這件事情本身是充滿着極大樂趣的，這也是我希望的您在閱讀這第一部分的過程所能收獲的東西。而在第二個部分中，我們將向您展示一些說明圖像。
點擴散函數（Point Spread Function）
當攝影師想要對一個對象拍攝一張看起來非常自然的圖片的時候，他們會希望相機上有一個“理想的鏡頭”。理想的鏡頭擁有這樣的特征：讓從物體某個點發出的所有的光線再次在圖像的一個點上再次相遇。然而我們現在知道，使用真實的鏡頭時，只能部分實現這一理想的目標。現實中並不存在幾何學意義上的“圖像點”。（譯者注：在幾何學上，一個點是沒有大小的。）
源自物體一個點的光會始終分布在圍繞那個理想的 “圖像點” 周圍的區域內，這是因為透鏡系統的像差，制造工差，以及光呈現出來的波的特性等因素共同決定的。
某種程度上來說，這一區域就是 “最小的彌散圓（Circle of Confusion）”。不過由於匯聚的光在這個區域內並非均勻分布的——一般來說光的強度從內向外減小，並且這一區域的形狀很少呈現圓形。
這種效應被稱為 點擴散函數”（Point Spread Function），它的形狀和大小就代表了這個鏡頭所成圖像質量的特征。
如果將攝影比作繪畫，那么點擴散函數就是筆跡，即鏡頭的筆觸。就像繪畫中有寬的、扁平的、尖頭的、或者毛刷一樣，鏡頭也有不同的筆跡風格。
但為什么它仍然沒有被用作描述圖像質量的量化標准呢？
主要有以下的三點原因：
首先，點擴散函數的形狀往往是非常復雜的，無法簡單地用一個數字來描述。在以下這些照片里，我們將使用一台顯微鏡拍攝的照片來說明這一點。圖像 1-6 中的點擴散都是可用，但質量一般的范例，這類點擴散是非常典型的，它們往往出現在高速鏡頭（譯者注：大光圈鏡頭）光圈全開時，或者是出現在廣角鏡頭的圖像邊緣，或者是出現在輕微失焦的時候。
點擴散函數的范例
為了方便比對大小，我們在圖片里粘貼了一個白色的正方形，它代表一個邊長 8.5μm 的像素，和全畫幅 1200 萬像素相機的像素一樣大。很明顯，這些點擴散都明顯地比這個像素尺寸大。
上圖第二行中的 7 號圖像所展示的點擴散是一個代表出色成像性能的例子。然而，數字傳感器（因為低通濾波器的存在）通常不會看到如此小的點擴散。最右側的 8 號圖像顯示了低通濾波器后面的同一個點。低通濾波器旨在抑制摩爾效應，通常位於傳感器前方。因此，低通濾波器后的圖像質量會被人為地惡化。通過數個雙折射碟后點擴散的大小會顯著地增加。
第二個原因是你幾乎永遠不會看到這樣一個孤立的點擴散。例如：只有在漆黑的夜晚拍攝星星時，才能達到與實驗室相同的效果。大多數圖像是在相機中以復雜的方式去組合無數獨立的點擴散而生成的。
這是因為物體的一小部分也由許多密集的點組成，這些點對應於鏡頭后面圖像中的許多密集的理想圖像點。由於實際點擴散並不是無限小的，這就意味着獨立的點擴散會重疊：圖像的一個點處的強度（甚至可以說在一個像素中）是通過對許多的點擴散進行二維積分（求和）生成的。因此，在鏡頭的“筆畫”和我們所見的最終圖像之間有一個並不那么容易歸納的數學關系。
第三個原因是從鏡頭到肉眼的成像鏈（imaging chain）可以被一個更加優雅的方式所描述，我現在將對這個方法進行解釋。
調制傳遞（Modulation Transfer）
與星星不同，一個連續的物體（Extended Object）包含無限多的點。由於我們主要關注連續的物體是如何進行成像的，因此我們必須找到另一種定量描述圖像質量的方法。我們使用正弦亮度分布（sinusoidal brightness distribution）來測試一個看起來盡可能簡單的對象是如何被成像的。
一個正弦亮度分布是亮條紋和暗條紋相間的圖案，其中亮和暗之間的過渡逐漸且連續地發生，在此處，我們使用正弦的關系，就像我們的插座中的電功率隨時間變化而變化那樣。我們使用正弦條紋圖案是因為無論點擴散的形狀有多復雜，它所成的像依舊是正弦圖案。
它的一些屬性也仍然保持穩定——或至少與成像質量無關：條紋的方向不會改變、而且條紋的頻率 - 即每單位長度條紋的數量 - 僅根據成像的放大率（imaging scale）變化。
然而，暗條紋和亮條紋之間的亮度差異不再與原始正弦圖像相同。這是因為連續的點擴展確保部分光線落在實際上完全黑暗的位置，而不是落在明亮的位置。
該圖顯示了一個亮度（垂直於條紋的方向上的截面）隨正弦波規律變化的條紋圖案（黑色曲線）。它每毫米有 20 個周期，因此一個周期為 50 微米長。紅色和藍色曲線是一個點擴散中亮度分布的橫截面。在藍點處，理想的成像點周圍的亮度分布將會遵循藍色曲線。因此，您可以看到一些光線落入藍點旁邊 25μm 處暗處的波谷中（譯者注：在 ±25μm 處，黑色曲線處於波谷，亮度為 0，即純黑）。
這個波谷同時也會接收到來自旁邊紅點標記處的光。雖然紅點處的的正弦圖案較暗，但由於紅點離波谷較藍點更近，所以會有較多一部分的光達到 -25μm 的波谷處。因此，圖案的暗區域中的亮度是來自相鄰區域的許多相似貢獻的總和。這一現象的結果就是標記為“圖像”的、起伏較小的調制曲線（modulation curve，圖像調制曲線在圖中用白點標注）。圖像中暗條紋的亮度由像差提高，而亮條紋變暗。
在光學中，亮與暗之間的差異被稱為“對比度”（Contrast）。從更通用的角度來看，所有遵循正弦規律，周期性變化量的最大值和最小值之間的差異都可以被稱為“調制”（Modulation）。如果我們簡單地將圖像的調制除以物體的調制，我們就能得到一個描述鏡頭成像性質的一個數字：調制傳遞（Modulation Transfer）。到此，我們已經理解了術語 “MTF” 的前兩個字母。它是一個 0 到 1 之間，或者說 0 到 100％ 之間的數字（譯者注：由於圖像的調制小於等於物體的調制，所以兩者的商始終處於 0 到 1 之間）。
攝影師們習慣於用光圈檔位描述明暗差異，這也是非常合理的，因為人眼對亮度的感知是遵循對數尺度的。但，如果我們的亮暗區別是 6 檔（最暗和最亮的地方比例是 1：2^6，也就是 1：64），而調制傳遞是 50%，這代表了什么呢？是說圖像的調制最亮和最暗的地方差別是 3 檔，還是說 1：64/2，也就是 1：32 （也就是 5 檔）呢？其實這兩個答案都是錯誤的，現實中，我們大概會有 1.5 檔光圈的差距。這是因為在光學里，對比度被定義為 “最大值與最小值的差除以最大值和最小值的和”。
因此，在上面的例子里，物體的對比度是 63/65，約等於 0.97，而成像后，由於調制傳遞是 50%，對比度只有一半，約 0.48，最小值和最大值的比例大約是 1：2.9（1.9/3.9=0.48）。
下圖展示了如果使用光圈檔位測量的話，物體對比度與圖像對比度在不同的調制傳輸下的關系。
我們可以認識到 MTF 的三個重要性質，這也是我們在閱讀 MTF 曲線時需要注意的：
其一，當物體對比度高時，較高 MTF 數值的微小差異也是非常顯著的。（譯者注：當 Object Contrast 較高時，MTF 94% 到 97% 的差異也是顯著的，盡管 MTF 值只提高了 3 個百分點，可從圖右側看出）
其二，小於一檔光圈的弱影調差異變化，並不需要較高的 MTF 值，高於 MTF 70-80% 的區別幾乎是無關的。（譯者注：當 Object Contrast 為 1 時，MTF 70% - 97% 的值差異很小，可從圖左側密集的曲線看出）
其三，在非常低的 MTF 值下，物體的對比度高低並不重要，無論物體對比度多高，圖像的對比度一直是很低的。（譯者注：這可以從平坦的 MTF 20% 曲線看出，Image Contrast 的變化並不顯著）
順便一提，這就是為什么膠片的數據表總是給出在 1∶1.6 的低對比度下的分辨力的原因。在 1∶1000 對比度下的分辨力只能由接觸式曝光（Contact Exposure）測得。對於最精細的細節（例如非常高的空間頻率），世界上沒有任何鏡頭能夠產生十擋光圈的對比度。因此，基於較高分辨力數值去估計圖像的信息量是過於樂觀的。（譯者注：即 1∶1000 的對比度下，以富士 Provia 100F Professional 膠片為例，官方給出 1∶1.6 下分辨力為 60 線每毫米，而 1∶1000 下為 140 線每毫米）
附：富士 Provia 100F Professional 的參數表
調制傳遞函數，分辨力（Modulation transfer function, resolving power）
很明顯，單個條紋圖案很顯然不足以反映一個鏡頭的素質。一個非常粗糙的、明暗間隔非常大的圖像顯然也可以被一個點擴散函數非常松散的鏡頭所很好的呈現。但如果我們縮小條紋之間的距離，使其接近於點擴散的大小，那么大量來自於較亮區域的光就會落在圖案的較暗的區域，圖像的對比度也隨之下降。
我們可以再次用筆刷做類比：不那么精細的畫面，用較粗的畫筆就可以繪制得很好，但是那些很細的畫筆，是為了畫面的細節所准備的。
因此，我們需要探尋鏡頭如何呈現不同精細程度的條紋圖案，例如，對於這些不同的圖案，我們需要確定每一個的調制傳遞（Modulation Transfer）。我們會獲得一系列的值，如果我們將其作為因變量，以某一形容條紋圖案精細度的參數為自變量，那么會得到一個函數——調制傳遞函數（Modulation Transfer Function）。
條紋圖案的精細程度可以用圖像中一毫米內包含多少個周期來形容。一個周期就是指相鄰的兩個兩條紋或者暗條紋之間的片段，或者包含一個暗條紋和一個亮條紋的線對的寬度。在像平面上每毫米之中包含的周期數稱為空間頻率（Spatial Frequency），單位是線對每毫米，縮寫為 lp/mm。
圖片展示了一個 35mm 格式（全畫幅）的 50mm 鏡頭中心的調制傳遞函數，兩組數據分別是在光圈為 f/2 和 f/5.6 時測得的。為了便於比較，衍射極限所限制的調制傳遞函數（diffraction-limited transfer functions）用沒有圓點的實線畫出。衍射極限代表着最理想的圖像。而在橫軸上，我們使用 lp/mm 來測量空間頻率。
一個衍射極限的圖像有一條幾乎是直線的 MTF 曲線，隨着空間頻率的增加而按比例減少。MTF 0 的值在所謂的“截止頻率”（limit frequency）出現，截止頻率由光圈大小（f number）和光的波長共同決定。
一個對中等波長的可見光的估測是：點擴散的寬度（μm）和 f number 數值上一致，而截止頻率約等於 1500 除以 f number。
對於真實的鏡頭而言，其 MTF 曲線會在一開始快速下降，而后非常緩慢地趨近於零，因此曲線會出現下垂。這一點在圖中光圈值為 f/2 的曲線上十分明顯，而光圈值為 f/5.6 的鏡頭則與物理上的最佳的理想鏡頭相差不會太遠。
當 MTF 值為零或低於一個閾值（例如10%）時，對應的空間頻率就是鏡頭在空氣中的分辨力。低於這個頻率的條紋圖案可以被很好地呈現，而不是變成失去細節的一片灰色。
分辨力的極限是難以測量的，圖中光圈值為二的 MTF 曲線可以很典型地說明這一問題：在高空間頻率下，其曲線非常平坦，很小的 MTF 值范圍對應着很大的空間頻率范圍，這意味着最終的結果會高度敏感地依賴於你所要求的最小對比度。因此，測量結果將會非常不精確的。由於這一原因，在空氣中的分辨力並不能作為一個合格的鏡頭質量指標。
注意請不要把上面所說的分辨力與經由感光元件所獲得的分辨力混淆。這就引出了我們上面提到的要使用調制函數（modulation function）描述圖像質量的第三個原因：
我們要想觀察圖像從來不只依賴於鏡頭，而是需要其他更多的設備加入成像鏈（imaging chain）：我們總是需要一個圖像傳感器，無論是數碼的還是銀鹽的，此外還可能是一個掃描儀，一個印刷機或者是一個投影鏡頭。
所有這些元件，甚至我們的肉眼，都有其自己的成像特性，也都可以用傳遞函數描述。而 MTF 的優點在於，這一串元件構成的成像鏈的總 MTF 值，約等於每一個獨立元件 MTF 值的乘積。下面讓我們來看一看一些典型的例子：
兩個 MTF 的乘積：非常好的 135 鏡頭和彩負膠片。兩者的乘積總是小於最小的那個因子。
在這個例子中，總的調制函數被基本上是被膠片所限制。如果選定 10% 為最低值，那么我們應該預期得到 80-100lp/mm 的分辨力。如果同時把投影設備或者我們的肉眼加入計算，那么最終的乘積還會略低一些。
兩個 MTF 的乘積：135 鏡頭和中等性能的彩負膠片。二者對乘積的貢獻幾乎完全相同。
在只計算兩個調制函數的乘積時，我們就能清楚的看到，去考查完整的高空間頻率的 MTF 並不是必要的。更不必說實際情況下會有更多的元件參與這一過程，從而使得 MTF 值愈發的低。
2400 萬像素的全畫幅數碼傳感器或是 1500 萬像素的 APS-C 畫幅傳感器，對應了大約 90lp/mm 的奈奎斯特頻率。因此在理論上它們具有與彩負膠片相當的分辨力。也就是考察 40lp/mm 的空間頻率就足夠了。而對於更高像素的傳感器來說，40lp/mm 的指標會顯得更加重要。
從另一個角度考慮，這個限制（指 40lp/mm）也是合理的：如果一個人在 25m 的 “明視最短距離” 上觀看一張 A4 大小的印刷物，這張印刷物大約會占據 60° 的視角，在這個距離上人眼上最高的解析力為 8lp/mm，所以對圖像的解析力為 1600lp/圖像。對於一個高度為 24mm 全畫幅的格式來說，這對應 66lp/mm，因此，對人眼來說有意義的空間頻率也就大概在 40lp/mm 這個范圍。
如果一個人將圖像顯著放大，而還在較短的距離上觀看它的話，眼睛就能利用整個系統中最高的空間頻率看到在普通情況下看不到的圖像缺陷。這和人們在大尺寸屏幕上以 100% 的模式觀看數字圖像時發生的事情是一致的，在這種情況下，一張 1200 萬像素的照片會超過 1 米長。
順帶一提，低感光度的黑白膠片能夠利用鏡頭在高頻的性能表現。
好鏡頭搭配高分辨率黑白膠片（數據來源於 T-Max 100）
下圖展示了對於全畫幅格式來說，40lp/mm 已經是一個挺高的空間頻率了。
這里展示了著名的西門子星（Siemens Star）圖案，這一圖案被廣泛應用於相機測試中。完整的圖片里展示了全畫幅相機拍攝的 1200 萬像素的圖片里有着 9 顆星。
一個大比例放大的局部圖片里展示了 40lp/mm 離西門子星的中心有多近。
原文：2008 年 12 月，蔡司相機鏡頭分部，H. H. Nasse 的文章 How to Read MTF Curves
首發於公眾號：字節社。
翻譯：字節君，同時感謝 ProcrastinatorC 的大力相助。