關於衍射極限、MTF以及像素大小的問題一直是我的一塊心病。說完全不了解，又大概知道這么一回事；可真正要我來講，卻又不能嚴密而系統地跟別人解釋清楚。仿佛就如同夢境里的一個場景，能真真切切看到它的存在，卻又難以捉摸，有時跑到跟前細看，又不是那么回事。比如很簡單的：
1、已知一個光學系統的F數、光波長，那它的像素大小到達一個什么水平時，算是充分利用了光學系統的分辨本領？換句話說，像素最小做到多大合適？
2、鏡頭設計時一般以lp/mm作為分辨率的指標來衡量MTF，那是否這個值越好，鏡頭就越好呢？
3、為什么1000多萬像素的手機，分辨率反而不如幾百萬像素的相機？
這些問題，以前要我講個究竟出來，是很困難的。最近我找了一些資料看，似乎理解比以前要透徹一些了。我今天試着講一下(趁頭腦還算清楚)，等講完了，我們回過頭來，看看這幾個問題的解答。
一、衍射極限與艾里斑
稍微深入玩過點攝影的都知道，一個理想的光點，通過鏡頭成像后，哪怕鏡頭沒有任何像差，它也會變成一個光斑。光斑大小與F數有關，F數越小，光斑越小。而更深入一點，就得有一些光學的基礎才能理解了，這是由於衍射引起的。簡單說來，一個理想的物點發出的光，它的空間頻譜是1，就是在各個空間頻率均勻分布。而我們用鏡頭去成像，沒辦法把所有方向的光收集起來，只能收集鏡頭大小(嚴格的說，應該是入瞳大小)對應的這部分。這就不可避免造成了信息的丟失。這也就是衍射的本質。
光學鏡片的輪廓一般是圓形，而圓孔夫琅禾費衍射的光強分布與[J1(x)/x]^2成正比，J1(x)是一階貝塞爾函數，x=πDsinθ/λ，J1(x)有無數個零點，前三個為3.832，7.016，10.173。光斑的一級暗環對應J1(x)的第一個零點3.832，即2πsinθ/λ=3.832，也就是sinθ=1.22λ/D時，出現了一級暗環。相應地，后續的每個零點都對應相應的二級暗環，三級暗環……，暗環和暗環之間還有亮環，但能量迅速衰減。一般我們常說的艾里斑，就是中心最亮的這個光斑，即從中心到一級暗環的這個范圍。因此也就有了每提艾里斑必提到的1.22λF的這個公式，對照上面的一級暗環角度公式，我們看到/D被換成了F數，二者之間相差一個焦距f。對了，這就是半角寬度換算成焦平面上光斑半徑的結果。值得一提的是，1.22λF是艾里斑半徑的大小，我看很多網上的理論，都直接默認為直徑大小，很不嚴謹。寫的時候好歹先翻翻書確認一下撒。
好了，雖然我想盡量寫的通俗一點，但為了交代1.22這個數字的來龍去脈，還是不可避免地扯上了數學公式。但千呼萬喚，算是把艾里斑引出來了。先直觀看一下艾里斑的形狀(順便說一下，我這篇博客的很多圖片和數據，都引自這篇文章http://www.luminous-landscape.com/tutorials/resolution.shtml，這篇文章對我啟發很大，有興趣的可以自己看一下)
二、MTF與線對lp/mm
我們知道由於衍射和像差的存在，一個理想的光點，經過光學系統成像以后，將變成一個光斑，這是這個光學系統的點擴散函數h(t)。從空域的角度來看，一幅圖像經過光學系統成像以后，由於像差和衍射的存在，肯定會退化，退化成什么樣呢？就是每個點都變成了一個光斑，整幅圖像就是理想圖像與點擴散函數h(t)的卷積。卷積這個變換有點復雜，不太直觀，於是人們就想到從頻域的角度來考慮問題。因為空域的卷積對應頻域的乘積。一幅圖像，經過光學系統成像以后，它的頻譜變化為在原來的基礎上乘了一個函數H(w)，H(w)是點擴散函數h(t)的傅里葉變換。H(w)就是傳遞函數，分為幅值和相位兩部分，代表了各個頻率的成分，經過光學系統以后，分別受到了不同程度的衰減和相位變化。幅值部分它影響條紋對比度的衰減，而相位部分代表條紋的移動。一般來說，我們只關注成像清晰度，這時幅值傳遞函數影響比相位傳遞函數大得多，所以我們只考慮幅值傳遞函數，就是我們通常說的MTF。
MTF是一個頻率域的概念，代表不同頻率成分對比度的衰減。就是說你去看一個單一頻率的正弦條紋，理想情況下它是黑白條紋相間，反差很好；但實際上由於光學系統的像差和衍射的影響，每個點都會影響它相鄰的區域，反差(對比度)會下降。條紋越密，對比度下降越厲害。而衡量這個疏密程度的單位，就是lp/mm，也就是我們常說的每毫米線對。代表每mm范圍內，有幾個明暗相間的正弦條紋。實際中為了方便，一般用明暗矩形條紋代替正弦條紋，一名一暗兩個矩形條紋構成了一個線對。我們測試一個光學系統的MTF，就是測試對不同疏密(lp/mm為單位)的條紋的對比度衰減。為了方便比較，lp/mm通常是指像平面上的線對數。
三、離散采樣、像素與線對
像質退化不僅發生在光學系統成像的過程中，還發生在將光學像變成數字化圖像的過程中。現代數字設備的圖像傳感器無非就是CCD和CMOS兩種。像素大小和間距都會造成像質的下降。整個系統的MTF是光學系統的MTF與傳感器的MTF的乘積。
首先，像素大小會造成對比度的下降。因為一個像素產生的電信號是與它面積范圍內光強的平均值成正比的。這就好比在原始連續光學圖像上用一個均值濾波器做了一次卷積。這種均值卷積核造成的對比度下降比艾里斑的影響還有過之而無不及。
其次，像素和像素之間的間距形成了離散采樣。一幅連續的光學圖像，它本來有無窮多個點，現在用一些離散的像素值來表示，難免會造成信息的丟失。Shannon采樣定理告訴我們，對於頻率為f 的信號，我們至少要用2f的頻率來采樣，才能把它恢復出來。從前面的敘述，我們知道，空間頻率一般是用每毫米線對數來表示的。一個線對就是一個周期，我們至少需要兩個像素來采樣它。因此，如果一個鏡頭，它最高可以分辨n lp/mm頻率的條紋，那么我們必須保證每毫米有2n個像素才行，這樣才能充分利用鏡頭的分辨能力；反過來，如果我們每mm只有n個像素，那么鏡頭分辨率做到n/2 lp/mm就可以了，再做高沒意義，在離散采樣的過程會丟失掉這些高頻信息。
四、艾里斑、線對與MTF
是時候把艾里斑和MTF聯系起來了。我們來看一看艾里斑對對比度的衰減能達到什么程度。
首先來看最經典的一個情形——瑞利判據。瑞利判據是說，當兩個相鄰的艾里斑距離為其半徑時，這兩個艾里斑勉強能夠分辨出來。
我們看到，從一個艾里斑的中心3到另一個艾里斑的中心5，依次經歷了一個從最亮到最暗再到最亮的過程。因此，一個線對(兩個像素)的寬度等於艾里斑的半徑大小。當然由於它們是這么密，實際上暗部和亮部沒差多少，MTF非常差，只有0.09。在這個頻率往上，系統是衍射受限的。哪怕沒有任何像差，MTF都很差，細節幾乎不可分辨。
好，我們不要太貪心，條紋太密的話MTF很差，沒有意義。我們將空間頻率減小一半，讓一個線對寬帶等於艾里斑直徑的大小
可以看到條紋變寬了以后，對比度明顯提高了不少(MTF約有50%左右)
頻率繼續減半，讓一個線對寬帶等於兩個艾里斑直徑大小
這個時候，對比度已經很好了(MTF~0.8)。可以說，在這個空間頻率之下，系統已經不再是衍射受限了，影響像質的主要是光學系統的像差，只要像差控制得夠好，接近理想光學系統，那么MTF可以做得很好。
至此我們可以來回答一下第一個問題。對於一個F數為2.8的鏡頭，假設我們用555nm的黃綠光來成像，像素大小做到多少合適呢？我們取線對寬度等於艾里斑的直徑大小作為依據，此時只考慮衍射的話，MTF約有0.5，也還算可以了。一個線對對應兩個像素，那么一個像素大小就相當於艾里斑的半徑，也就是1.22λF，算出來約為1.9微米。如果固定傳感器大小的話，那么它的像素數就是有上限的。到達一個限度，再增加像素數，就會導致像素小於1.9微米，再增加的像素已經提供不了新的信息了。具體表現，就是我們經常看手機拍的圖片時會有的感覺，雖然像素很多，但只能在一個縮放比例以下去看，放大到原始大小來看，像素和像素之間是模糊的，沒有細節。