利用 Heading、Pitch 、Roll 計算 Omega、Phi、Kappa

OPK系統描述的是地輔坐標系(m)與像空間坐標系(i)之間的關系，HPR系統描述的則是導航坐標系(g)與IMU坐標系(b)之間的關系, 是兩種完全不同的角元素系統, 因此不能直接將 HPR角度作為外方位角元素用於攝影測量處理。但是, GPS/INS 系統輸出常常采用HPR角元素系統, 例如加拿大Applanix公司的POS/AV系統, 其后處理軟件PosProc的輸出結果為HPR角度以及IMU中心的地心坐標, 必須要將其轉換成攝影測量所用的外方位元素。

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參考文獻1：GPS_INS系統HPR與OPK角元素的剖析與轉換_劉軍

參考文獻2：New Calibration and Computing Method for Direct Georeferencing of Image and Scanner Data Using 

The roll, pitch and heading angles are used to transform a vector from the body coordinate system into the navigation system or vice versa.

The transformation matrix itself is calculated by three consecutive rotation matrices in the following order: 1st rotation: roll around x-axis; 2nd rotation: pitch around y-axis; 3rd rotation: heading (yaw) around z-axis. The combination of the three rotations results in the following orthogonal transformation matrix:

第一旋轉：繞X-軸；第二旋轉：繞Y-軸；第三旋轉：繞Z-軸。這三個旋轉導致如下的旋轉矩陣：

可以通過以下方式輕松執行從導航坐標系到車身坐標系的逆變換：

 用於索引的符號直接表示轉換方向：較低的索引表示原始系統，較高的索引表示目標系統。示例：如果相機或GPS天線的原點安裝在不同的位置，則需要進行桿臂變換，以將GPS天線的位置轉移到相機。由於杠桿臂r^b是在車身3坐標系中測量的，因此必須應用到導航坐標系rⁿ的轉換。這是通過以下方式實現的：

通過以下方式執行逆變換：

如果變換矩陣已知，則可以直接從其元素C_ij（i=列，j=行）重新計算歐拉角（滾轉φ，俯仰θ，航向ψ）：

，，

 如前所述，導航坐標系與當地標高和向北方向有關。如果是粗紗機，該坐標系不是固定的，但會隨着粗紗機的速度而變化（見圖2）。

 圖2：運輸速率、地球速率、導航坐標系及其與地心地球固定坐標系（ECEF）的關系。

這些變化稱為傳輸速率Wenn，其矢量可通過以下公式計算：

 

V _N: north velocity

V _E: east velocity

φ,λ h:ellipsoidal geographic coordinates(latitude, longitude, height)

R _N, R _E: mean radii of the earth ellipsoid

在地心地球固定坐標系（ECEF，索引e）的幫助下，可以實現不同導航系統及其軸線方向之間的關系。這是通過以下兩個包含橢球體地理坐標φ,λ的旋轉矩陣執行的：

 

 結果是一個轉換矩陣，用於將矢量從ECEF系統（e系統）轉換為任何導航系統（n系統），或反之亦然：

ECEF系統——>導航系統：

導航系統——>ECEF系統：

所有坐標系（b系、n系、e系）均為右手三維笛卡爾坐標系。

3. 攝影測量中使用的坐標系和角度的基本要素

慣性導航中使用的身體坐標系（b系統）似乎與攝影測量中使用的圖像坐標系（b系統）相似。圖像坐標系由攝像機或CCD傳感器的基准標記實現。原點是焦距c到主點距離內的投影中心O（見圖3）。攝影測量中使用的不是導航系統（n系統），而是非常類似的地球固定地形或物體坐標系（E系統）。除了坐標系的不同方向外，旋轉角度（j、w、k）的定義順序也非常不同，具體取決於攝影測量制圖系統。

圖3：攝影測量中使用的坐標系和旋轉角度的定義：圖像坐標系B、地形或物體坐標系E和旋轉角度φ,ω,κ

對象坐標系的一個典型候選是Gauß-Krüger坐標系或等效映射系統。但為了避免使用左手坐標系，x軸指向東方，y軸指向北方，而z軸的方向（高度）與天頂對齊。這種地球橢球體的測繪系統具有非唯一的比例，但是子午線偏差影響相對於地理方向的方向。通過使用與水平面相切的空間笛卡爾坐標系，可以避免這些困難。

 

 矩陣乘法的結果為：

 

這兩個矩陣都是正交矩陣。因此，其逆變換由下式給出：

雖然航空標准在攝影測量中有明確定義，但每個系統都有自己的特定定義，例如，對於BLUH和PATB，圖像坐標系的軸方向如圖4所示。其定義不同於導航中使用的身體坐標系（見圖5）。

 圖4:BLUH（左）和PATB（右）圖像坐標系方向的定義

 圖5：導航中使用的身體坐標系的定義

在建立適當的矩陣后，可以通過以下方法將圖像坐標系中的向量轉換為對象坐標系中的向量，或者將圖像坐標系中的向量轉換為對象坐標系中的向量

對象到圖像坐標系（E-到B-坐標系）

圖像到對象坐標系（B-到E-系統）

在這種表示法中，要變換的向量（輸入）位於方程的右側，目標系統的向量（輸出）位於左側。右側向量的上索引必須與要相乘的變換矩陣的下索引一致，而其上索引表示目標系統。請注意，括號中轉置矩陣或逆矩陣的索引是相反的。這將簡化以下推導。

如果已知其中一個變換矩陣，則可以從其矩陣元素Cij重新計算旋轉角度（j，w，k），對於該矩陣元素，旋轉順序的定義至關重要。表1顯示了兩個系統BLUH和PATB的結果：

  表1：根據旋轉矩陣的矩陣元素計算旋轉角j、w、k

4. 推導用於直接地理參考的INS姿態角和航向角轉換公式

前兩章的主題集中於單獨處理旋轉和變換矩陣，以及導航和攝影測量中用於將矢量從一個系統轉換為另一個系統的相應旋轉角度。表2顯示了結果的管理概要。

要將INS的姿態角和航向角（ϕ,θ, ψ)轉換為攝影測量角（φ,ω,κ），必須考慮不同的坐標系和旋轉角定義。此外，還必須考慮所使用的測繪系統，以及是否在攝影測量系統中應用了由地球曲率和子午線偏差引起的校正。由於這個原因建議使用空間笛卡爾切面坐標系作為對象坐標系。該坐標系的原點應與圖像塊的中心重合。

 表2：導航和攝影測量中使用的不同坐標系、矢量、角度和變換矩陣的簡要概述

由於導航和攝影測量中坐標軸的方向不同，需要兩個附加的變換矩陣來獲得等效方向的系統。這些是：

1.矩陣將向量從b系統轉換為b系統，反之亦然：T_b^B

2.矩陣，用於將向量形式的n系統轉換為E系統，反之亦然：T_n^E

矩陣由以下元素組成：

使用這些矩陣，可以執行以下四種向量變換：

車身到圖像坐標系（b到b）：

圖像到實體坐標系（B到B）：

導航到對象坐標系（n到E）：

對象到導航坐標系（E到n）：

最后提到的變換僅在切線平面坐標系用作E 系，或者在Gauß-Krüger坐標系下，由於地球曲率和子午線偏差而進行的修正時有效。否則，需要進一步的變換矩陣來補償這些影響：

λ₀^GK：高盧-克魯格坐標系的平均子午線

對於直接地理參考，必須從投影中心慣性確定的坐標以及相應的姿態和航向角為每個圖像推導出從圖像坐標系（B系統）到地形系統（E系統）（或其逆矩陣）的變換矩陣（f，q，y）。然后，在最后一步中，必須從導出的矩陣中額外計算攝影測量角度φ，ω和kappa（j，w，k）。

對於每個暴露點i，必須根據切平面系統原點P0的姿態角和航向角（fi、qi、yi）、橢球地理坐標（j i、li）和橢球地理坐標（j 0、l0）計算以下矩陣：

對於Gauß-Krüger坐標，需要額外的矩陣，否則，該矩陣必須由單位矩陣I代替。

現在可以執行以下五個轉換：

1. ，結果：從b系統到e系統

2. ，結果：b系統到n0系統（P0中的導航系統）

3. ，結果：b系統到n系統

4.，結果：n’-系統到B-系統

5. ，結果：E-系統到B-系統

通過一些矩陣運算，將得到的所有變換矩陣組合在一起：

 攝影測量旋轉角度φ，ω，kappa（j，w，k）必須如上所示進行計算。

5. 慣性導航系統與攝像機之間錯位的處理和調整

高精度應用（更好的0.1°）需要對INS和攝像機之間的不對中進行特殊處理。對於此類應用，INS應牢固安裝在攝像機上。在實踐中，慣性導航系統和攝像機的軸完全平行的理想情況無法達到必要的精度。因此，必須對小誤差角（未對准，見圖6）進行校准，並在轉換中額外考慮。

 圖6:INS和攝像機之間的偏差e_x、e_y、e_z

由於姿態和航向角定義的身體坐標系b未對准，相機參考稍微旋轉的身體坐標系b*。通常，圍繞三個軸的偏差ex、ey、ez為小角度（<3°），差速旋轉矩陣就足夠了。在進一步使用之前，該微分旋轉矩陣還用於轉換原始變換矩陣Cbn。具體做法如下：

利用微分旋轉矩陣：

這導致以下完整的轉換矩陣，其中包括未對准：

如果INS固定在攝像機上，則偏差ex、ey、ez應保持恆定。通常，無論是慣性導航系統的軸還是由基准標記定義的攝像機的軸，都無法用常規大地測量方法輕松測量，因此，使用特定的在崗校准程序來確定偏差。在本程序中，將帶攝像機和INS的完整系統置於具有良好測量控制點的試驗區上空進行試飛。然后對每張照片進行光束調整，確定角度φ、ω和kappa（j、w、k）。這些角度以及INS測量的投影中心的相應角度和位置用於估計偏差。

在使用每個圖像的以下數據的調整中執行失調的估計：

·慣性衍生角：f，q，y
·光束平差中確定的攝影測量角度：j、w、k
·投影中心的三維坐標（橢球地理坐標j、l、h、地心坐標X、Y、Z或Gauß-Krüger坐標E、N、h）

調整模型的未知值由偏差矩陣（1）中包含的偏差ex、ey、ez形成。當考慮方程（2）時，左側的CEB矩陣可根據攝影測量確定的角度進行計算。在右側，所有矩陣（未對准矩陣除外）都可以從慣性確定的數據中導出。要應用調整模型，必須隔離包含偏差的矩陣。經過一些變換后，方程（2）可以寫成